求解二面角的六种常规方法

时间：2022-10-08 23:45:10 数学毕业论文我要投稿

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求解二面角的六种常规方法

　　求解二面角问题是高考的热点问题，在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析，我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此，本文总结了常见的六种求解二面角的方法，希望能给部分读者以帮助.

　　1、定义法

　　是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法.

　　【例1】如图1，空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=a，BD=2a，求二面角A—BD—C的大小.

　　图1

　　解:取BD的中点为O，分别连接AO、CO，

　　∵AB=AD，BC=CD.

　　∴AO⊥BD，CO⊥BD.

　　∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.

　　∵AB=AD=a，BD=2a，

　　∴AO=22a.

　　∵BC=CD=a，BD=2a，∴OC=22a.

　　在●AOC中，OC=22a，OA=22a，AC=a，OA?2+OC?2=AC?2，

　　∴∠AOC=90°，即二面角A—BD—C为直二面角.

　　2、三垂线法

　　是指利用三垂线定理，根据“与射影垂直，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法.

　　【例2】如图2，二面角α-AB-β的棱AB上有一点C，线段CD?α，CD=100，∠BCD=30°，点D到平面β的距离为253，求二面角α-AB-β的度数.

　　图2

　　解:过D作DE⊥β于E，DF⊥AB于F，连接EF.

　　∵DF⊥AB，EF是DF在β内的射影，

　　∴AB⊥EF(三垂线定理).

　　∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.

　　在Rt●DEF中，DF=12CD=50，DE=253，

　　∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.

　　∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.

　　3、垂面法

　　是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法.

　　【例3】如图3，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB，SB=BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D，求二面角E-BD-C的大小.

　　图3

　　解:∵BS=BC，SE=EC，

　　∴SC⊥BE，又∵SC⊥DE，

　　∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.

　　又∵BD⊥SA，∴BD⊥面SAC.

　　∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.

　　设SA=a，则SB=BC=2a.

　　∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC.

　　∴BC⊥SB.

　　∴SC=2a，∠SCD=30°.

　　∴∠EDC=60°，

　　即二面角E-BD-C的大小为60°.

　　4、面积射影法

　　所谓面积射影法，就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用cosθ=S?射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).

　　【例4】在正方体ABCD-A?1B?1C?1D?1中，K∈BB?1，M∈CC?1，且BK=14BB?1，CM=34CC?1，求平面AKM与ABCD所成角的大小.

　　图4

　　解:连结AC，则由题意可知，

　　●ABC是●AKM在平面AC上的射影.

　　设平面AKM与ABCD所成角为θ，

　　则cosθ=S?射S=S?●ABCS

　　?●AKM.

　　令正方体的棱长为4，

　　∴S?●ABC=12AB•AC=12×4×4=8.

　　在●AKM中，AK=12+42=17，

　　AM=42+42+32=41，

　　KM=42+22=20.

　　由海伦公式可知S?●AKM=221，

　　∴cosθ=421，θ=arccos421.

　　5、法向量法

　　法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法.

　　【例5】如图5，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=ɑ，求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小.

　　图5

　　解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示)，

　　则P(0，0，a)，D(0，a，0)，C(a，a，0).

　　设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，

　　则n•PD=0，n•CD=0.

　　即(x，y，z)•(0，a，-a)=0，(x，y，z)•(-a，0，0)=0.

　　∴y=-z，x=0.

　　即n=(0，1，-1).

　　又AD成为平面PAB的法向量，

　　而cos〈AD，n〉=(0，a，0)•(0，1，-1)a•2=22，

　　∴AD与n所成的角为45°.

　　因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.

　　6、垂线法

　　是指先利用待定系数法确定垂足，再利用公式求出二面角的大小.

　　【例6】如图6，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC，已知PD=2，CD=2，AE=12，求

　　(1)异面直线PD与EC的距离;

　　(2)二面角E-PC-D的大小.

　　图6

　　解:(1)略.

　　(2)以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

　　作DG⊥PC，可设G(0，y，z).

　　由DG•PC=0得(0，y，z)•(0，2，-2)=0，即z=2y.

　　故可取DG=(0，1，2).

　　作EF⊥PC于F，设F(0，m，n)，则EF=(-32，m-12，n).

　　由EF•PC=0，得(-32，m-12，n)•(0，2，-2)=0，即2m-1-2n=0.

　　又由F在PC上得n=-22m+2，故m=1，n=22，EF=(-32，12，22).

　　因EF⊥PC，DG⊥PC，

　　故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.

　　故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22，∴θ=π4.

　　故二面角E-PC-D的大小为π4

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