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归纳法的应用
摘 要：数学归纳法是证明某些与自然数有关的数学命题的一种数学推理方法，是一种形式独特的完全归纳推理，在数学解题中有着广泛的应用.本文指出了数学归纳法的理论依据——佩亚诺()的归纳公理，讨论了数学归纳法在中学数学中的应用，并指出了使用数学归纳法时的注意点.
关键词：数学归纳法;应用;
数学归纳法是一种常用的证明方法，在不少数学问题的证明中，它都有着其他方法所不能替代的作用，甚至在物理、生物等方面都有着广泛的前景.本文先简单阐述数学归纳法的理论依据，然后通过一些具有例子讨论数学归纳法在中学数学中的应用，最后简单叙述数学归纳法在应用中需要注意的问题.
归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法是逻辑方法;不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用于数学严格证明.
数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是佩亚诺公理Ⅰ―Ⅴ中的归纳公理：
Ⅰ.存在一个自然数0∈N;
Ⅱ.每个自然数a有一个后继元素d，如果d是a的后继元素，则a叫做d的生成元素;
Ⅲ.自然数0无生成元素;
Ⅳ.如果d=b′，则a=b;
Ⅴ.(归纳公理)自然数集N的每个子集M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M=N.
数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数有关的初等数学问题，而且还可以解决高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、计算机等方面的有关问题.在用数学归纳法解决以上问题时，能大大降低问题的复杂性，同时能找出相应的递推关系.下面结合具体例子讨论数学归纳法在整除、不等式、数列等问题中的应用.
1数学归纳法在整除问题的应用
整除问题都可以用数学归纳法来解决，用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式整除，这是数学归纳法证明整数的整除性问题的一个技巧.
例1 求证：n3+5n(n∈N+)能被6整除.
证 (1)当n=1时，13+5×1=6能被6整除，命题成立.
(2)假设n=k时，命题成立，即k3+5k能被6整除.
当n=k+1时，有(k+1)3+5(k+1)=(k3+3k2+3k+1)+(5k+1)
=(k3+5k)+3k(k+1)+6.
因为两个连续的正整数的乘积k(k+1)是偶数，所以3k(k+1)能被6整除.
从而(k3+5k)+3k(k+1)+6能被6整除，即当n=k+1时命题也成立.
根据数学归纳法知，对一切正整数命题都成立.
2数学归纳法在不等式问题的应用
用数学归纳法证明不等式，宜先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形，一般地只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.
例2 设ai>0(i=1，2，…，n)，且a1+a2+…+an=1.
求证：a21+a22+…+a2n?1n(n?2).
证(1)当n=2时，因a1+a2=1，故.a21+a22+2a1a2=1.
又a21+a22?2a1a2，所以a1+a2?12.
(2)假设当n=k时命题成立，即在a1+a2+…+ak且a>0(i=1，2，…，k)的条件下有a21+a22+…+a2k?1k.
则当n=k+1时，a21+a22+…+ak2+ak+12=1，且ai>0，所以0 故1-ak+1>0满足归纳假a21+a22+…+a2k?1k设所应满足的条件，所以(a11-ak+1)2+(a21-ak+1)2+…+(ak1-ak+1)2?1k.
即 a21+a22+…+a2k?(1-ak+1)2k
a21+a22+…+a2k+ak+12?(1-ak+1)2k+ak+12.
因为(1-ak+1)2k+ak+12-1k+1=(k+1)2ak+12-2(k+1)ak+1+1k(k+1)
=1k(k+1)[(k+1)ak+1-1]2?0
所以a21+a22+…+a2k+ak+12?1k+1.
根据数学归纳法，原命题对大于的自然数都成立.
3数学归纳法在数列问题的应用
例3 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Snn(a1+an)2，证明{an}是等差数列.
证设a2-a1=d，假设an=a1+(n-1)d.
当n=1时，an=an，所以当n=1时假设成立.
当n=2时，a1+(2-1)d=a2，所以当a=2时假设成立.
假设当n=k(k?2)时，假设也成立，即：ak=a1+(n-1)d.
当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(a1+ak+1)2-k(a1+ak)2.
将ak=a1(k-1)d 代入上式，得到
2ak+1=(k+1)(a1+ak+1)-2ka1-k(k-1)d
整理得 (k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d.
因为k?2，所以ak+1=a1+kd，即n=k+1时假设成立.
根据数学归纳法可知，对所有的自然数n，都有an=a1+(n-1)d，从而{an}是等差数列.
本题是将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题.在证明过程中ak+1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式Sn=n(a1+an)2，数列中通项与前n项和的关系ak+1=Sk+1-Sk建立含ak+1的方程，代入假设成立的式子ak=a1+(k-1)d中解出ak+1.另外本题注意的一点是不能忽视验证n=1、n=2的正确性.因为，由(k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d得到ak+1=a1+kd的k?2.所以，用数学归纳法证明时递推的基础是n=2时等式成立.
数学归纳法主要是针对一些自然数的相关命题，所以在证明和自然数n有关的式子中有着不可替代的作用，对于一些和自然数有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.当然在使用数学归纳法时要注意：第一，证明的两个步骤缺一不可.第一步是归纳法的基础，第二步是归纳法的传递.尤其不可忽视第一步的验证;第二，第二步在证明T(n+1)为真时，一定要用到归纳假设，即要把“T(n)为真，推出T(n+1)为真”或由“T(n0)，T(n0+1)，…，T(k-1)为真，推出T(k)为真”的实质蕴含真正体现出来，否则不是数学归纳法证明;第三，并不是凡与自然数相关的命题T(n)都能用数学归纳法给以证明的.
参考文献：
[1]刘艳.数学归纳法的原理及其应用.山西经济管理干部学院学报，2011，(09)：54-56.
[2]张瑞峡.数学归纳法的理论基础.科教文汇，2011，(07)：24-26.
[3]姜春晓，张红青.浅谈数学归纳法在中学数学中的应用.中国校外教育报，2012，(02)：29-30.
[4]胡重光.数学归纳法与皮亚诺公理.数学理论与应用，2005，(04)：34-37.
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