三角函数的最值求法论文

时间：2022-10-09 05:11:31 数学毕业论文我要投稿

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三角函数的最值求法论文

　　三角函数的最值求法论文通过举例说明分析了三角函数最值求法中常见错误和解题技巧。

三角函数的最值求法论文

　　三角函数的最值求法论文【1】

　　摘要：三角函数是数学学习中最常见的概念，在整个数学学习中也是最重要的组成部分，三角函数的公式复杂多变，需要解题人员具有扎实的学习基础和对公式灵活运用的头脑，此外，三角函数的内容具有抽象性、综合性、技巧性，这样增加了理解难度和学生对于知识的掌握程度。

　　关键词：三角函数;最值;题解

　　前言

　　在数学教学中三角函数是学习章程中独立的一章，也是在历年的考试中重要的考点之一，要想把三角函数学好，首先必须要对之前所学的三角公式灵活运用，能快速的看出需要变形的恒等。

　　三角函数的最值运算是结合了许多数学知识和运算方法，所以在解题的过程中很可能会因为变形错误、问题理解错误等诸多问题而最后影响了运算结果。

　　所以在学习三角函数最值的时候，同学们应有针对性的学习，对教学的重点、难点提前预习，理解渗透三角函数的应用公式，学习的时候注意听老师的思维方法和解题步骤，这样会对学习三角函数最值有很大的帮助。

　　在求最值的问题的时候首先要了解求什么类型的最值，其中三角函数的的最值是利用三角函数性质来解决，如果是求一般的最值问题，现在普遍运用的方法一种是利用函数的单调性，另一种是利用导数，在学习三角函数之前可以把曾经做过的有关最值问题进行细致总结，分析题目中所给出的几个方向，方向的选择是通过读题，如果出现多套思路，只要灵活运用所学到的数学方法去处理问题就行。

　　1 求三角函数最值的方法

　　求三角函数最值的方法有很多，其中最常用的有配方法、反求法、分离常数法、辅助角法、换元法、不等式法等方法，但是在学习三角函数最值的时候，如果让学生学习如此多的方法，会使他们造成公式混乱更加难以理解学习的内容，学到最后连最基本的方法都没有掌握，出现“丢西瓜捡芝麻”的情况。

　　所以在学习三角函数最值的时候，重点掌握三种方法，它们是所有方法当中最基本也是最常用的，有配方法、反求法、辅助角法，其中反求法的应用范围与分离常数法是异曲同工之妙，它们都要在掌握变形的是同时又需要灵活运用，这种方法通俗易懂、化繁为简，但是分离常数法不能像反求法一样作为重点学习。

　　在对运算公式和方法融会贯通之后，就要运用实例来测试自己的学习成果，但不是所有的例题都能反映出学习效果，要做有特点的例题，因为这种例题能够很好的反映和体现三角函数最值的求法和变形，还能通过这种例题反映出在做题过程中应注意的细节问题和容易出错的地方，通过做题更深入的了解这三种运算三角函数最值的方法。

　　三角函数最值的学习还是要通过老师得讲解和同学的实际运算相结合，因为三角函数最值的方法是固定的，只有在老师讲解完学生理解之后才能自己独立做练习题，只有充分发挥这三种方法，并多加练习，才能提高三角函数最值的学习效率。

　　2 三角函数最值的解题思路

　　如果是属于三角函数方向的题目，在解题思路上不应该出现不容易把握的状况，那么在三角变换这个方向上，三角题目的解题方向有的同学在学习过程中把握不好，其中有很多原因，比如在答题时看到题目，套用一个公式写上去，答完之后发现所用的公式不对，然后重新再换一个公式答题。

　　总是这样的反复套用，就显得思路混乱，对公式的掌握程度不够，往往有的时候，第一次考虑一个公式往上一用，题目解的很顺，就会认为已经对三角函数掌握的很好，但是当下一次依然运用这个公式的时候，问题没有解开，然后又选择第二个甚至第三个公式，依旧解不开，于是会对心里就会产生影响，这是学生在学习三角变换中很常见的现象。

　　主要原因就是因为三角函数的公式很多，变换的形式多变，这就好像走到了十字路口，然后站在中间，接下来还有许多条路，但是我们只需要选择最短最快的一条路，而我们站在路中间看不清楚，这跟解答三角函数最值问题是相似的，所以就要求在解答三角函数最值的时候对已知条件仔细研究，准确分析，根据具体的题目，考虑是先从和角公式还是差角公式着手，然后在分析两角之间存在的必然关系，函数与函数的关联，题目分析准确之后掌握好解题方向，把应该用到的公式结合起来，按照解题步骤一步一步的解答。

　　只有按照以上方法进行分析三角函数最值才是合理的、准确的。

　　2.1 给角求值

　　三角函数中最值问题应熟练掌握三角函数中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式，还要具有逆向思维的头脑，将非特殊角转化为特殊角例如：30°、60°、90°，写明求值的过程，然后进行解析，总体来讲就是先将角度转换在利用切割化弦运算依次是化为特殊角最后是约去部分，解决这类问题的关键就是特殊角转换，然后约去非特殊角。

　　2.2 给值求值

　　给值求值这种三角函数求值法的运算过程中，经常会遇到同角之间的运算关系和推论方法，给值求值的关键就在于利用已经给出的条件与要求得的值之间角的运算，对于已知条件和未知条件之间进行转换或者是变形，达到求解的目的。

　　3 三角函数问题中常见错误分析

　　三角函数作为数学章程中独立的一部分，它的特点鲜明，其中需要熟悉掌握的公式比较多，需要灵活的变换公式，往往一道问题会有多个答案出现的情况，所以导致了在解题的过程中会因为思维混乱而陷入误区，但还是因题而异。

　　3.1 定义域

　　三角函数中的恒等之间变换必须要使三角函数是有意义的，在区间内的任意角范围不能改变的情况下，对于切角和割角的定义域范围就显得尤为重要，要仔细分析研究切割角两类函数，否则很容易造成运算失误，最终导致答案错误。

　　3.2 单调性

　　三角函数运算过程中会给出一部分已知条件，利用已知条件去求某一项，这个时候很多人在答题时经常性的忽略单调性，如果是在某一区间上的角，这样就会使答案增加。

　　4 三角函数求值域的类型

　　在解决三角函数的时候，还有可能会遇到求值域的问题，在解决值域问题的时候，一定要熟练运用三角之间的代换，看到题目的时候不要急于解答，要先仔细观察，分析研究给出的已知条件，大多情况下都是利用数形结合的运算技巧。

　　例如： f(x)=asinx+b，这种函数我们可以把它看作是定义中的某个函数，那么这种函数的最值就是[f(x)]max= +b;[f(x)]min= +b

　　4.1 双曲线型

　　例如：f(x)，这样的函数就可以把它看作是双曲线函数在某个区间上的图形，函数值有可能在双曲线的一支上，也有可能函数值分别在双曲线的两支上。

　　4.2 抛物线型

　　例如：f(x)=asin2x+bsinx+c (a≠0)，这样的函数可以把它看成是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)在x (-1，1)时的函数值范围，当这个函数值在一定区间下，达到一个最值，而另一个最值，在另一个区间，如果函数是在某个区间上单调，那么它的最值应该是在两端点处。

　　结论

　　综上所述，三角函数在惯例考试中是经常出现的数学题目，通常试卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函数之间的关系，还有三角函数的恒等变形的灵活运用程度。

　　三角函数覆盖了丰富的数学公式，复杂的运算步骤，需要注意的是在学习三角函数的时候，必须要准确的牢记三角函数所有公式，熟练的使用变换方法，根据不同的问题思维要灵活，把所学到的公式融会贯通，这样就会顺利的解决问题。

　　参考文献

　　[1]李玉萍.用数形结合的思想求函数的极值[J].数学教学研究,2004,(1).

　　[2]沈红霞.用均值不等式求最值,变不可能为可能[J].数学教学,2005,(10)30-31.

　　[3]薛金星.中学数学教材全解[M].

　　常见的三角函数最值的求法【2】

　　三角函数是高中数学的主体内容，是高考的重点，也是每年必考的内容之一。

　　而最值是对三角函数知识的综合运用，在三角函数中占有及其重要的位置。

　　本论文就常见的一些最值不足进行简单的总结，以期对各位能有所帮助计算机软件论文。

　　1. 形如y=asina+b (或y=acosa+b )型函数，借助于正余弦函数的有界性求解

　　例1，求函数y=3sinx+2 当θ-π2 ≤x≤π2时的最值

　　解： θ-π2 ≤x≤π2

　　∴ sinx∈[-1,1]∴y∈[-1,2]

　　即函数的最大值为2，最小值为-1

　　2. 形如y=asinx+bcosx型不足，通常采取引入辅助角，借助于正余弦函数的有界性和单调性求解

　　例2，当 -π2≤x≤π2时，求函数f(x)=sinx+ 3cosx的最大值最小值

　　解：原函数可化为f(x)=2sin(x+π3 )

　　θ-π2 ≤x≤π2，∴-π6 ≤x+π3≤5π6

　　∴ -12≤sin(x+ π3)≤1

　　∴当x= π6时f(x)取得最大值2，

　　当x= -π6时，f(x)取得最小值-1。

　　3. 形如y=asina+bccosa+d 型函数，借助于图像或将其转化为第二种类型求解

　　例3，求函数y=sinx-1cosx+2 的值域

　　解：原式可化为： 2y+1= 1+y2sin(x+Ф) ∴ sin(x+Ф)=2y+1 1+y2∈[-1,1] ∴y∈[-43,1]

　　另解：本题还可以设点A(cosx,sinx)B(-2,1),其中点A的轨迹是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，可转化为点B与圆上点连线的斜率不足，避开解含绝对值的不等式。

　　4. 同时含有sinx+cosx与sinxcos x型，此类题型借助于sin2a+cos2a=1将二者联系起来，采取换元的策略解题，但一定要应注意所换参数的取值范围

　　例4，求函数y=sin2x+sinx+cosx 的最值

　　解：令t=sinx+cosx∈[-2,2]，则sin2x= t2-1

　　原式= t2+t-1 t∈[-2,2]

　　∴y的最大值为1+2 最小值为 -54

　　5. 形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型，此类题含sinx(或cosx)的二次项，可借助二次函数用配策略求出最值

　　例5，求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值

　　解：原式可化为y= (cosx-32)2-14

　　对称轴 cosx=32 不属于[-1,1]

　　∴当cosx=1时，y取得最小值0

　　容易出现的变式： y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c 型，此类题型较易转化成上例形式，本论文不再举例。

　　6. 形如y=asin2x+bcos2x+csinxcosx型，此类题各项均为sinx与cosx的二次式，可考虑用倍角公式降幂，然后化归为前面介绍的类型解决。

　　例6，函数y=12 cos2x+32sinxcosx+1, 求当函数取得最值时自变量x的集合

　　解：原式易化为y =12sin(2x+π6)+54

　　∴当 2x+π6=2kπ+π2即x=kπ+ π6(k∈z)时y取最大值74

　　当2x+π6=2kπ-π2 即x=kπ- -π3(k∈z)时y取最小值34

　　求三角函数的最值题题型多样，常见的策略除本论文提到的几种外，还有判别式法，数形结合法等等，近几年的高考中大都以低中档题型出现。

　　只要我们在自己解题时注意所遇到题目的类型，选对策略，对于三角函数的值域或最值不足，就应该不是不足了。

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