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初等数论课程教学的改进论文
初等数论课程教学的改进论文【1】
摘 要：初等数论是大学本科数学的专业基础课，但长期得不到足够的重视。
究其原因，除其内容相对简单不受师生重视外，也有课程设置不科学和课堂教学方式方法陈旧等因素。
本文旨在改进教学方法，阐述课堂教学中的经验心得。
归根结底，就是在备课和课堂教学的设计上下工夫，取得理想的教学质量。
关键词：初等数论;教学方法;改进
初等数论是数学专业本科阶段代数系列课程中的一门，与高等代数和近世代数等已得到普遍重视的情况相比，初等数论课程的重要性尚未得到充分的认识，主要体现在课程设置不科学、教学方法陈旧等方面，由此导致教学效果差，教学质量无法提高等诸多问题。
那么，如何改进初等数论课程的教学、改善教学效果，从而提高教学质量?本文仅就教学实践从两个方面谈谈这一问题。
一、在思想上给予初等数论以足够的重视
初等数论是一门古老的学科，主要研究数的性质和方程的整数解，是中等数学中数的理论的继续和提高，是中学数学与大学数学的最好衔接。
尽管其使用的方法是初等的，但应该看到其很多内容及思想为高等代数和近世代数做了很好的铺垫，提供了抽象理论的具体实例。
初等数论为后续的代数提供了一个样板，很多理论都要推广到更一般的情形上去。
在整数集这个熟悉的领域中体会好代数的思想和方法，为将来学习和研究的提升做准备。
更为重要的是目前RSA公钥体制和离散对数体制均来自初等数论，并且正在不断采用数论更为高深的理论成果[1]。
这反映出初等数论在实践应用上的价值。
既然初等数论课程如此重要，那么一些高校数学专业为什么会不重视这门课程?最根本的原因在于这门课程内容表面上相对浅显，教学单位没有从科学的角度来审视初等数论在大学数学教学中的真实作用，低估了它存在的价值，他们认为大学数学应当讲授更为抽象的问题，初等数论的存在比较尴尬，因此，在课程设置上不够突出这门课程的地位。
不但没有将之安排在大一的第一学期讲授，而且有的将其由专业必修课改成大三讲授的选修课。
这种错误的课程设置，抹杀了初等数论这门课衔接中学与大学数学教学的桥梁作用。
此外，大三学生面对相对浅显的数论课程，也确实提不起兴趣，进而影响到教师对这门课程的备课、授课的重视程度。
这种情况冯克勤先生曾经撰文提到过，并且阐述了大一新生开设初等数论课程的理由和积极意义[2]。
遗憾的是十几年过去了，仍没有得到广泛的重视。
现在，我们采纳冯先生的建议尚不算晚，应当在具体的教学计划上做出切实的调整，以便更好地发挥初等数论在大学数学学习与教学中的作用，进而使之在应用领域能为人熟练地应用，实现这门课程的价值。
教师在教学实践上的重视程度和履行情况也至关重要。
教师不但要积极讲授这门课程，而且还要下一番心思认真准备，设计好课堂教学环节，怎样开始，怎样展开，结尾应强调什么，知识点和相关学科知识的联系等，这些环节都极为重要。
教师投入热情，自然就会带动学生的热情，师生互动达成，取得良好的教学效果便水到渠成。
备课充分与否，教师和学生都能体会得到。
二、改进传统的教学方法
传统的教学方法主要集中于教师课堂讲授演算、随时提问的方式。
这种方式立足于教材本身，紧紧围绕教学大纲，中规中矩，对数学专业课程的讲授而言有它的优势。
对初等数论来说，情况就不同了。
上文所言，不科学的课程设置，实际上是将初等数论这门课程置于比较尴尬的地位。
其内容简单，又在大三开设，甚至属于选修课程。
带来的结果是听课的人少，学生和老师的情绪互相影响。
学生认为没什么可听的，过于简单;教师认为学生一看都懂，讲起来也没什么意思，双方的情绪都不高。
这便要求我们必须立足于这门课程在整个大学数学教学中的实际地位，采取相应的更为灵活的教学方式来改变这种状况。
我们通过具体的教学实践，总结了以下一些方法。
(一)增加与基本定义及定理相关内容的介绍
在课堂教学中，对基本定义及定理的背景、来源、研究动机、目的与其应用的讲解是必要的。
要让学生明白为什么要讲这些内容，它们如何得来，有何应用。
如讲质数问题，就要提及整数。
整数是最先接触的数集，都以为整数是最基本的数，但中国古代数学家把质数叫做“数根”，意思是数的根本。
因为任何整数或者是质数，或者是几个质数的积。
古希腊时代的伟大数学家欧几里得在《几何原本》中就已经给出质数的若干性质。
欧几里得给出算术基本定理在普通整数中的证明，后来高斯在复整数集{a+bi|a，b均为整数}中得出证明。
高斯曾经在《算术探究》提过：“区分质数和合数，并且将合数分解成质因子，是算术中最重要又最有意义的问题。”高斯明确指出了质数的重要性。
今天，质数理论不仅在理论上，而且在应用上日益重要。
基于大数分解方案的公开密钥体制在信息安全领域的应用就是一个最好的证明。
把以上的相关内容向学生做一个简略的介绍，一方面，丰富了质数问题的知识含量，另一方面强调了质数问题的重要性。
不但从数学史的角度深化了学生对质数的理解，而且调动了学生学习的积极性。
数学史方面的适度渗透，我们在教学实践中经常会用到，效果良好。
(二)盘点每堂课的主要内容，要求学生多练习
课堂上可能学了很多东西，学生能消化吸收多少?一个学期下来学生又记住了什么?我们自己要经常问自己，更要经常问学生。
换言之，即要求学生每堂课过后要关注教师的总结，也要自己去总结。
课堂上会有一些具体细致的计算与证明，这对领会这门学科的基本方法是必要的，但不能过于执著细的方面，以至于只记得怎样做，而忘了要做什么和为什么要做。
要注重讲系统的方法，并展示这些方法可以解决什么问题，同时说明为解决另一些数学问题还需要进一步发展数学。
可以在每次课的结尾盘点当天的主要内容以加深印象。
但一定要要求学生课下动手做，要多练习，使其具备一定的基本功。
学期末，教师要向学生盘点这门课程的重点内容。
初等数论都能让我们想到什么，哪些是这门课程的精髓。
初等数论的重点是算数基本定理、中国剩余定理、模n的剩余类、欧拉定理(费马定理)、高斯二次互反律等。
(三)营造良好的课堂氛围
相对而言，初等数论这门课内容简单，易于达成师生间的良性沟通，营造出活跃的课堂氛围。
但不同授课内容，学生的反应会有所不同。
有时学生会对某个问题较为敏感，思维也比较活跃，能够积极思维并参与讨论，带动其他同学，带动整个课堂气氛，这样的教学效果肯定是好的。
有时学生会对接受的内容产生诸多疑问，因此，表面上课堂并不活跃，大家都在默默地、积极地思考，沉浸在一种数学的氛围之中。
这种课堂氛围同样能达到理想的授课效果。
(四)调动学生参与到应用数论解决简单的实践活动中去
初等数论课是一门可以充分展示学生个性的课。
作业中会发现对同一个题目，他们可能有很多种做法，应该对他们给予鼓励，使他们有成就感，进一步提高学生学习的积极性。
另外，数论课还可以让学生编一些解决问题的算法。
比如，编程解决素数判定(当然是适当大的数以内的)、最大公因数的求解、一次同余式的求解。
在全班同学范围内编一个密钥表来模仿公开密钥体制给学生发加密信息等。
可以让学生互相比较谁的算法好、速度快，这些既锻炼了学生的编程能力，又提高学生的学习兴趣，同时也培养学生自主学习的能力。
除了上述四个方面外，我们还针对教学中的具体情况采取一些方法。
如针对不同层次学生的需求，如何做到因材施教的问题。
这是涉及既能保证普遍的教学质量，又能注重优秀学生培养的一个老问题[3]。
有的学生天赋好、基础好，常常会有与众不同的想法、问题，要积极引导他们，鼓励他们多读书，读好书。
鼓励他们就感兴趣的问题查阅文献资料，这可能同时涉及其他课程、其他学科，也能拓展他们的知识面，让他们感受到数学的应用以及学科之间的关联。
在初等数论课堂教学改进的过程中，我们发现利用这门课程的教学适时地向学生渗透数学的某些思想是有效果的。
通过这门课程的教与学，很多学生都明白了数学教学的过程是教师引导他们学习前人得到的概念、定理及方法的过程。
这些理论的叙述都是倒叙式的，与前人得到的顺序是相反的。
师生虽然不能完全模拟当年数学家的思维过程，也应尽量一起分析这个问题的产生、可能的解决思路，最终方法的确定，一同回味和享受这个过程。
这一过程对他们更好地理解理论、体会思想、学习方法、培养兴趣都是非常重要的。
另外，这样做有利于培养学生学习的研究能力[4]。
记得有一位老师说过，基础课教学的探讨永无止境。
我们只能探索、改进、再探索、再改进。
参考文献：
[1]冯克勤.高校代数教学的一些实践与思考[C]//大学数学课程报告论坛论文集.北京：高等教育出版社，2005：49-52.
[2]冯克勤.高校代数课教学的一些作法和看法[J].大学数学，2004，(5).
[3]曹重光.高等代数课程建设与改革[J].中国科教创新导刊，2008，(29).
[4]曹重光，张显，唐孝敏，生玉秋.高等代数课程建设与改革[J].黑龙江教育：高教研究与评估，2005，(7).
初等数论的教学实践与思考【2】
近年来，初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域得到了广泛的应用，同时近代数学中许多重要的思想、概念、方法与技巧都是从对整数性质的深入研究中不断丰富和发展起来的。
因此，学习这门课程对学生来说非常重要，与其它数学专业课程比较来看，初等数论似乎很简单，但根据其涉及的题目却形式多样，解题时需要一定的技巧，所以真正教好、学好它并不容易。
如何调动学生学习的积极性，在教学过程中如何启发引导学生，提高初等数论的教学效果，对学生进一步的学习和毕业以后的教学研究和实践有重要的意义。
一、挖掘教材中的隐性知识，拓宽学生知识面
教材中的知识可以分成两类：一类是表述相对明显，能被学生直接解读、理解的知识;另一类是没有直接表述出来的知识，需要经过教师的点拨、讲解才能彰显出来，才能被学生理解，即我们通称的隐性知识。
在注重知识应用能力培养的今天，教师很有必要在教学实践中对教材中的隐性知识进行充分的挖掘。
《初等数论》的内容简明、语言精练，由此造成了不少的隐性知识。
如在书本31页有这样一道习题：证明：二元一次不定方程ax+by=N，(a，b)=1，a>1，b>1，当N>ab-a-b时，有非负整数解。
N=ab-a-b时则不然。
如果教师在教学中稍加引导，则不难得到如下两个结论：①不能表示成形如ax+by{(a，b)=1，a>1，b>1}的最大正整数为N=ab-a-b;②使ax+by=N无非负整数解的最大正整数N=ab-a-b。
教材中这样的隐性知识很多，教师如能充分挖掘，便可拓宽学生的知识面，而且能增加学生对初等数论的学习兴趣。
二、注重知识点间的联系，横向辐射
任何知识点都不是孤立存在的，都与周围其他知识点处于相互联系中。
同时，构成某个知识点的各个要点也不是散乱的一团，而是相互依存、有机联系在一起的。
老师在教学时一定要注意到知识点与知识点之间的联系，以点带动面，以面带动板块，以板块进行辐射，万不可把知识点进行人为的孤立，无论对于学生的思维连贯性与广度，都是非常不利的。
例如，《初等数论》第三章的第四节的后面部分介绍了一个既约分数{0但是，书本告诉我们的知识远远不止这些。
对于循环小数，小学数学中就有介绍，站在初等数论中的理论高度来说，小学的内容是缺乏一定的严谨性的，当然也有一定的局限性。
谈到既约分数与小数的互化，我们自然会思考下面的两个问题：任意给定一个分数，它可以化成怎样的小数?任意给定一个小数，它是否一定可以化成分数?第一个问题涉及到小数的分类，第二个问题涉及到能够表示成分数的小数的特征。
不难回答，我们可以把小数分成有限小数与无限小数，无限小数又可以分为循环小数与无限不循环小数，而无限不循环小数是不能表示成分数的，也就是我们所说的无理数。
在讲授这部分内容时，我们可以尝试补充一下内容，相信这样的教学会比之前更精彩，内容也更丰富，也更具吸引力。
三、把握知识的整体结构，纵向延伸
同一主题的知识点由于课程安排的需要，被放在不同的章节中。
随着学习的深入，有关这一主题的内容不断出现，虽然内容有所不同，但其前后相继的联系非常密切。
如果细心分析，就会发现它们是贯穿教材前后的一条线索。
教师在教学中如果能够把相关内容串联起来，给学生一个清晰的脉络，同时鼓励学生主动去寻找各个知识点之间的联系，那么这将有助于学生从更高层次上把握教材的体系，构建相应的知识网络，使各知识点系统化、专题化。
同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一。
同余式性质应用非常广泛，在处理某些整除性、进位制、对整数分类、解不定方程等方面的问题中有着不可替代的功能，与之密切相关的的数论定理有欧拉定理、费马定理和中国剩余定理。
例如，在第四章§1基本概念及一次同余式中，教材给我们介绍了求解一次同余式的一般方法：将求解ax=b(modm)转化为：求解二元一次不定方程ax-mt=b。
在求解不定方程时，我们需要用到辗转相除法，但是在不定方程的测验中，发现学生用辗转相除法时很容易用过头：往往“不小心”计算到了余数为0的最后一个商，这样算出来的结果自然就不对了。
所以在教学过程中，我们可以引导学生联系各知识点，积极寻找求解一次同余式更为简单、易于操作的方法。
四、联系生活，注重知识应用
数学是一种工具，是一种将自然、社会运动现象法则化、简约化的工具。
数学学习的最重要成果就是学会建立数学模型，用以解决实际问题。
数学教学的任务就是教人掌握这一工具并学会利用这一工具，对于初等数论教学当然也不例外。
通过了解初等数论知识在实际中的广泛运用，可以培养学生浓厚的学习兴趣，自然学生参与学习的积极性提高，教学也能收到良好的效果。
例如，将一根30米长的钢材，截割成规格分别为2米，3米和8米的较短的料，每种规格的料至少有1根，问怎样截才能使原来的钢材恰好用完?
解：设2米，3米，8米的料分别截x，y，z根，根据题意有：2x+3y+8z=30因为每种规格的料至少1根，所以应求方程的正整数解。
与解二元一次不定方程一样，求三元一次不定方程的正整数解，可以先求它的通解，通过解一个二元一次不等式组，得到通解中两个参数的取值范围，从而找出原不定方程相应的正整数解，但解二元一次不等式组比较麻烦，这里运用逐次尝试法，先确定其中一个未知数的取值范围，然后对所取正整数值逐一试验求解。
在教学过程中，应充分利用教材和习题，从教学内容特点、教学对象的特点、教学资源等方面不断探索、研究和改善，才能加强对学生获取知识、发现问题、研究问题、解决问题和创新能力的培养，才能提高学生的综合素质，才能建立一个良好的初等数论教学新模式。
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