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线性代数中矩阵的应用论文
线性代数中矩阵的应用论文【1】
摘 要：伴随着社会经济的快速发展，信息技术的进步，数学应用领域也得到了扩展，已从传统物理领域扩展至非物理领域，于当前现代化管理、高科技的发展以及生产力水平的提升中有着非常重要的作用。
下面笔者就线性代数中矩阵的应用进行研究，借助于关于矩阵应用的典型案例来分析，以加深人们对矩阵应用领域的认识。
关键词：代数 应用 线性 矩阵
线性代数作为数学分支之一，是一门重要的学科。
在线性代数的研究中，对矩阵所实施的研究最多，矩阵为一个数表，该数表能变换，形成为新数表，简而言之就是若抽象出某一种变化规律，可借助于代数理论知识来对所研究的这一数表实施变换，以此获得所需结论。
近年来，随着社会经济发展速度的加快，科学技术水平的提高，线形代数中矩阵的应用领域也变得更为广泛，本文就线性代数中矩阵的应用进行详细地阐述。
1 矩阵在量纲化分析法中的应用
大部分物理量均有量纲，其主要分为两种，即基本量纲与导出量纲，其中基本量纲有社会长度L、时间T以及质量M，其他量均为导出量。
基于量纲一致这一原则，等号两端的各变量能构建一个相应的线性方程组，经矩阵变换来解决各量之间所存关系。
比如勾股定理证明，假设某RT△斜边长是c，两直角边长各为a和b，在此如果选△面积s，斜边c，两锐角a和β为需研究变量，则必定有以下关系，即，该公式中所存量纲有四个，其中有三个为基本量纲，则必然有一个量为无量纲，把上述量纲列成为矩阵，所获矩阵图形如，其中每一列表示一个变量量纲数据。
基于该矩阵，所获解线性方程为，综合上述方程可得解，即x11为2，x21为0，x31为0，因此，可得关系式，该公式中λ表示唯一需明确的无量纲量，从该公式可知RT△面积和斜边c平方之间成比例。
在此，于该三角形斜边做一高，把其划分为两个形似三角形，其面积各为s1与s2，此时，原RT△的边长a和b则是两个相似小三角形的斜边。
通过上述内容可知所获原理和结论相似，则有s1=λa2与s2=λb2，因s1+s2=s，对此，基于此，可证明勾股定理，即为。
由于量纲分析在运算上所涉及到的内容仅有代数，对此，若进行的试验十分昂贵，一般在实验前，人们倾向于事先在不同的假设下构建若干的相似模型，接着择优选择来进行实验。
从侧面上来讲，这种方法对于部分常数还起到一定的压缩或者恢复的作用。
2 矩阵在生产总值和城乡人口流动分析中的应用
2.1 生产总值
3 结语
综上所述，经线性代数中矩阵在不同领域中应用案例的分析可知，矩阵所具潜能非常的大，伴随着信息技术水平的提高，网络技术的进步，矩阵的应用也会更加深入。
由于各学科间、各行业之间的交叉变得越来越频繁，且界限也变得越来越模糊，在这种形势下，数学这门学科所具基础性也更为明显，对此，在学科研究与行业研究中融入数学，不仅可使研究更加具有说服力，同时还可使研究变得更为简洁，获得更为合理且科学的研究成果。
参考文献
[1] 侯祥林，张宁，徐厚生，等.基于动态设计变量优化方法的代数黎卡提方程算法与应用[J].沈阳建筑大学学报：自然科学版，2010，26(3)：609-612.
[2] 黄玉梅，彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报：自然科学版，2009，45(Z1)：123-125.
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线性代数中矩阵的秩的运用及教学策略【2】
【摘要】线性代数是数学研究领域中的一个重要学科分支，矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要的工具。
矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终，它在线性代数中扮演了重要角色。
本文根据线性代数中矩阵的秩的运用特点展开讨论，提出几点指导教学运用的具体策略。
【关键词】矩阵的秩 线性代数 方程组 教学策略
一、前言
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+l阶子式(若存在)全等于0，那么称D为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。
并规定零矩阵的秩等于0。
显然矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数。
还可以从向量组的角度来定义矩阵的秩，矩阵的行向量组的秩等于矩阵的列向量组的秩，统称为矩阵的秩。
不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是十分必要的。
本文通过分析矩阵的秩在线性代数中的诸多作用， 逐步加深对这一概念本质的理解， 进而真正掌握矩阵的秩并能灵活地运用它解决各种有关问题。
在开展教学活动时，教师需要立足于矩阵的秩的性质，开展结构知识网络图的建设工作，通过多种教学手段的使用，从而显著提高教学效果。
二、秩与初等变换
教材中通常先引进矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵秩的性质，然后利用秩讨论线性方程组无解、有唯一解或有无无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解方程组的方法。
初等变换不改变矩阵的秩。
利用这一性质，我们得到了求矩阵的秩的一般方法―初等变换法。
要求矩阵的秩，可以对矩阵做初等变换，化为行阶梯型，那么非零行的行数即为矩阵的秩。
通过初等变换我们还可以得到矩阵秩的诸多优良性质。
用初等变换法我们还可以用来求向量组的秩，将向量组对应成矩阵，初等变换法求出矩阵的秩，即为向量组的秩。
更进一步，我们还可以求出向量组中的最大线性无关组及向量组的线性相关性。
用初等变换法将矩阵化成行阶梯型矩阵，找出不为零的最高阶非零子式，它所在的行即为矩阵行向量组的一个最大线性无关组，所在的列即为矩阵列向量组的一个最大线性无关组。
如果向量组的秩等于向量个数，则向量组线性无关;小于向量个数，则线性相关。
从而将向量组的线性相关性的判别这个让学生感到棘手的问题简单化为向量组构成的矩阵秩与向量个数的大小比较问题。
三、秩与线性方程组
为了探讨线性方程组无解、有唯一解或有无无限多解的条件，我们需要将系数矩阵的秩、增广矩阵的秩与未知量的个数进行比较。
定理[1]：n元线性方程组 Ax = b
① 无解的充分必要条件是 R(A) ② 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A， b) = n ;
③ 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A， b) 例讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解。
解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：
(1) 当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，此时方程组有唯一解.
(2) 当系数矩阵的秩为1，增广矩阵的秩为2，此时方程组无解.
(3) 当此时方程组有无穷多组解.
方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
故原方程组与下列方程组同解：
令可得上述非齐次线性方程组的一个特解;
元素，可得为该齐次线性方程组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为
此外，注意到此题中方程个数与未知数个数相同，还可以先计算系数行列式，运用克莱默法则，易于确定参数的值，使问题简单化。
从以下这个表中我们能更加清楚的认识矩阵的秩与线性方程组的解的情况之间的关系。
四、矩阵的秩的教学策略探讨
首先，要让学生明白学习矩阵的秩的重要性。
矩阵从来都是数学中的经典内容，是我们分析解决问题的一个强有力的工具，当然也是大学生必备的经典知识。
其次，在线性代数中，矩阵的秩是个比较抽象的概念，它是教师教学的重点和难点。
若不注重方法直接介绍，学生将难以接受，接受勉强接受，也不能深刻地理解其定义与定理的具体的内涵，更谈不上在具体题目中能灵活运用这个数学概念。
教师要帮助学生深刻理解矩阵秩的概念，从学生熟悉的背景引入，兼顾知识难点严密性和形象性，用大量实例将概念具体化，不管是从行列式的角度还是从向量组的角度，都能清晰把握概念内涵。
第三，在教学过程中要中深入剖向量组的线性相关性与矩阵的秩以及线性方程组解之间的内在联系，课堂教学过程中多选择典型例题，例题就是抽象知识的具体化，通过典型的例题来解释这些难懂的知识点。
第四，让学生多做练习，使学生在运用中加深对难点的理解和把握，从中体会相关知识的联系与区别。
比如，安排习题课让学生进行课内练习，教师可利用习题课对矩阵的秩的运用特点进行梳理和总结，帮助学生从整体上把握。
针对一些典型的习题，让学生先认真思考验算，再进行讲评，提高学生分析和解决问题的能力。
五、结束语
对于数学问题的认知方面，学生应该全身心的参与，不应该仅仅局限在课本和例题这些固定的知识层面，还应该在题目的变式中得到锤炼和提高。
在线性代数讲解活动中，老师应该循循善诱的帮助学生树立起探索数学复杂题型的信心，在线性代数中矩阵秩的具体习题练习中得到思维发散与提高。
参考文献：
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[2] 江蓉，王守中.矩阵的秩在线性代数中的应用及其教学方法的探讨[J].西南师范大学学报(自然科学版)，2012，37(8)：175-180.DOI：110.3969.
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[4] 巴桑卓玛.探讨矩阵的秩在线性代数中的应用[J].西藏大学学报(自然科学版)，2010，25(12)：1104-107.
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