- 相关推荐
线性规划的教学模式
线性规划的教学模式【1】
摘要：线性规划是运筹学的核心内容，求解线性规划的单纯形法在理论上已趋于成熟，应用也越来越广泛。
为了使学生更容易、更深刻地理解这种算法及其理论基础，本文给出了一种循序渐进的教学模式。
这种模式也适用于运筹学其他内容的教学。
关键词：单纯形法;循序渐进;教学模式
运筹学是二战期间发展起来的一门应用学科，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的一些问题，为决策者选择最优策略提供定量依据，其内容包括：规划论(线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划等)、图论与网络分析、对策论、排队论、存储论、决策论、排序与统筹方法等[1]。
运筹学的实际应用涉及生产计划、运输问题、人事管理、库存管理、市场营销、财务和会计等方面。
另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择与评价、工程优化设计、环境保护等问题中。
据统计，50%数学建模问题与运筹学内容相关，可以用运筹学的方法解决。
另外，为各大高校数次争得荣誉的建模队伍，长期以来一直接受运筹学相关知识的培训。
运筹学中最主要的分支是线性规划。
线性规划模型是前苏联著名经济学家康托罗维奇于1939年提出的，这一重大发现使他获得了诺贝尔经济学奖。
1947年G.B.Dantzig提出求解线性规划的单纯形法。
针对退化问题，1952年A.Charner和W.W.Cooper[2]给出了摄动法，1954年G.B.Dantzig，A.Orden和P.Wolfe[3]提出了字典序方法，1976年G.G.Bland[4]提出了Bland法则，这些方法都能避免循环发生。
线性规划理论上已趋于成熟，应用也越来越广泛。
事实上，运筹学中许多问题都可以或需要用线性规划模型来描述或近似地描述，如运输问题――求解运输问题的表上作业法本质上就是单纯形法，并且这种方法充分展示了单纯形法的魅力。
求最短路、最小费用最大流的问题都可以用线性规划模型来解决。
求解指派问题的匈牙利法本质上也是单纯形法[5]。
矩阵对策问题最后转化成求解线性规划。
学习运筹学的先修课程主要有线性代数、微积分、概率论与数理统计。
事实上，运筹学不仅应用了这些学科，也从理论上进一步发展了这些学科。
单纯形法是建立在一系列理论基础之上的。
首先，如果线性规划的可行域非空，则它是一个凸集，这个结论很容易证明。
线性规划的可行域的顶点与基可行解之间是一一对应的，所以其顶点个数有限，这个结论与单纯形法的关系不大，其证明可以省略。
其次，线性规划若有可行解，则一定有基可行解，这个结论是很重要的，为了更好地理解它的证明，我们先看下面的例子。
进一步讲，若线性规划有最优解，其最优解一定可以在其可行域的顶点上找到，也就是在其基可行解中找到，这样就把一个从无限个可行解中找最优转化成在有限个可行解中找最优。
这是单纯形法的理论基础。
为了更好地理解这一重要结论的证明，我们看下一个例子。
X2的正分量的个数是2。
由于P2，P4线性无关，所以X2是基可行解。
这样我们就找到了一个最优解也是基可行解。
一般地，若X2的正分量对应的系数列与线性相关，继续上述过程，直到找到基可行解为止。
从基可行解中找最优解所用的方法是单纯形迭代法。
那么，如何判断一个线性规划是否有最优解?如何判断一个基可行解是否是最优解?在一个基可行解不是最优的情况下如何迭代到下一个与其相邻的更好的基可行解?为回答这些问题，我们举例说明。
先讲特例再引入最优性判别定理、基可行解的改进定理以及单纯形法的迭代步骤，学生就容易理解。
即使针对有些专业的学生讲解这些定理的证明，也容易接受。
总之，现代社会信息量大，大学生需要学习的课程很多，用于预习或复习的时间就很少，这样上课时间就尤为珍贵，教师应该如何讲，才能使学生当堂听明白所授内容，这是一个必须思考的问题。
其实，运筹学这门学科更侧重的是应用，数学理论并不难，之所以有人觉得难学，是因为没有把握一种好的学习方法。
本文针对单纯形法给出了一种循序渐进的教学模式，实践证明这种模式能使学生更容易的理解课堂内容，有利于激发学生的自信心和学习兴趣，使学生在轻松掌握数学理论的基础上，能更好地探讨运筹学的经典案例的建模和求解，加强学生运用所学知识解决实际问题的能力和创新能力。
参考文献：
[1]《运筹学》教材编写组.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2004.
[2]Charnes，A.And Cooper W.W.，The stepping stone method of explaining linear programming calculations in thansportation problems，Management Science，1954，(1)：49-69.
[3]Dantzig，G.B.，Orden.A.and Wolfe.P.，Note on linear programming，Pacific J.Math.1955，(5)：183-195.
[4]Bland，G.G.，New finite pivoting rules of Simplex method，Math.Of Operations Research，1977，(2)：103-107.
[5]Hamdy，A.Taha，Operations Research-An Introduction[M].北京：人民邮电出版社，2007.
线性规划课程教学【2】
摘要：目前，各高校经管类专业大都开设了线性规划或运筹学等相关课程。
本文结合线性规划课程的教学实践，阐述了线性规划课程教学改革中的几点体会。
关键词：线性规划;激发动力;多媒体;网络教学
线性规划是经济管理类专业一门重要的专业基础课，是线性代数后续基础课之一，是运筹学中研究较早且相对比较成熟的一个重要分支。
它是由于社会发展的需要而产生和发展的。
上世纪30年代末40年代初，康托洛维奇等在生产组织和运输问题等方面开始研究应用线性规划这一数学方法[1];1947年美国数学家Dantzing提出的单纯形方法从理论上为线性规划奠定了基础。
它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
现如今，线性规划已广泛应用于工业、农业、商业、国防、交通运输、能源、水利、经济、管理决策等众多领域，它可以解决各行业中的最优计划、最优分配、最优管理、最优决策等最优问题。
通过本课程的学习，使学生掌握线性规划的主要模型、基本理论、主要算法，并能将这些理论和方法应用于实际问题，培养学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力，从而为学生今后进一步深造以及从事经济管理方向的学习和研究工作打下坚实的基础，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
下面就笔者的一些教学实践，浅谈一下线性规划这门课程课堂教学的几点体会。
1.合理安排教学内容，激发学生的学习动力
首先，线性规划是线性代数的后续课程之一，课程中要用到很多线性代数的知识，比如，矩阵、矩阵的秩、矩阵的运算、矩阵的初等变换、向量组的相关性、无关性、线性方程组的求解等等。
因此，我们在讲解线性规划课程的内容之前，首先要帮助学生复习巩固线性代数中学过的内容。
虽然这样会加重本课程的教学任务，但是只有代数中的这些内容理解透彻了，线性规划课程中的单纯形方法等知识才能真正地理解其中的原理，才能做到"知其然，更知其所以然"，而不是死记硬背、"依葫芦画瓢"。
其次，提高学生的学习热情，激发学生的学习动力是学生学号一门课程的前提之一。
提到数学课程，大多数的学生的第一反映是理论性强、很抽象、难掌握。
我们课程的第一部分是线性规划问题的数学模型，课本上出于知识的系统性和严谨性的考虑，先给出的往往是变量很多、表达复杂的抽象的模型，这些太抽象太复杂的内容会使学生认为这门课程很高深、难听懂而产生挫败感，进而使学生在这门课程中的学习动力大打折扣。
因此，我们授课时不妨可以先从一个贴近我们生活的实例出发，建立一个简单且容易理解的线性规划模型。
如下面这个问题[2]：某工厂在计划期内安排生产甲、乙两种产品。
已知生产两种产品所需的设备台时及A，B两种原材料的消耗、设备及两种原材料的现有量、单位产品的利润如下表：问：应如何安排生产计划，才使获利最多?
这是生产组织与计划问题中的一个很典型、实际生活中也很常见的问题，经过简单的提示，学生们完全可以自己建立出该问题的数学模型。
解：设生产甲乙两种产品分别为x1，x2单位。
maxS=2x1+3x2
x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0
再根据高中时期学过的图解法，我们还可以求出最优的生产方案：生产甲4单位，生产乙2单位时，可获得最大利润S=14元。
于是，我们可以告诉学生，我们这就已经解决了一个比较简单的线性规划问题了。
这样一来，学生在获得成就感的同时，也发现了这门课程并非像想像中的那样深不可测，是完全可以掌握好的，也就激发了学生学习的热情和动力。
2.传统的板书教学应与多媒体教学相结合
传统的数学课堂采用的是黑板加板书的授课方式。
但是随着信息化技术的不断发展，多媒体技术作为一种新的教育形式和现代化的教学手段，被广泛应用到我们的日常教学工作中。
现在越来越多的数学课程也都采用多媒体的授课方式了。
就线性规划这门课程而言，采用多媒体技术进行授课有以下优点：
(1)采用多媒体教学能够省掉很多重复劳动
比如，我们讲解图解法时，最优解存在有唯一的最优解和存在无穷多最优解的情况，我们可以以下面这两个题目为例来讲解：
①maxS=2x1+3x2 ②maxS=2x1+4x2
x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0 x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1，x2≥0
问题①存在唯一的最优解，问题②存在无穷多最优解，但是这两个问题的约束条件相同，因此，两者的可行域是完全相同的。
板书教学时，如果我们在同一个图形中求解会是图形看起来杂乱、不清晰，如果画两个图形求解，既占用了黑板的版面，也浪费了课堂时间。
但是如果我们采用多媒体形式的话，首先，软件绘制的图形要比我们教师手绘的图形精确的多，什么情况下取到最优解，学生可以看得一目了然;再者，课件上的图形比黑板上的图形要干净清晰很多，因此，这两个题目在一个图形中求解也不会显得杂乱，同时也更方便学生对这两种最优解的情况进行比较。
(2)多媒体教学能够丰富课堂内容，提高教学效率
比如，我们每门课程的第一次课，教师大都会介绍该课程的发展历史、研究现状及相关课程的背景知识来激发学生的学习兴趣。
在讲解线性规划课程的内容前，我们可以介绍一下运筹学的主要分支及研究内容，尤其是与实际生活息息相关或日常生活中常见的一些问题。
这些内容如果我们全部板书，学生可以了解的比较清楚，但是信息量太大，会占用太多的课堂时间;如果只是口述，时间占用少了，但是学生会听的云里雾里。
多媒体的授课方式就可以很好地解决这两者的矛盾，如果我们将这些内容制作成精美的多媒体课件展现给学生，学生的印象就非常直观，我们讲解后，学生就会了解到线性规划乃至整个运筹学都是解决实际问题的学科，是日常生活很多决策问题需要依赖的学科，可是他们日后工作中可能会用到的学科，这样一来，就激发了学生学习的兴趣和动力。
因此，多媒体教学既丰富了课堂内容，又没有过多的占用课堂时间，提高了教学效率。
我们在享受多媒体技术给我们带来的便利的同时，也要注意到全程多媒体的授课方式也存在着一些不足之处：
(1)过度使用多媒体会模糊教师在课堂中的主体地位，我们不能让我们的课堂变成一个"影院"，多媒体课件变为屏幕，教师变身为电影放映员，而学生则变成了看电影的观众。
观众看完一场电影后能够记住全部情节的有多少，能够对情节内容反思的又有多少。
同样地，如果只是教师点鼠标，学生看幻灯片，这样一堂全程多媒体的课堂下来，学生中能够记住所讲知识的能有几人，对所讲知识进行思考、分析的又能有几人，答案不言而喻。
(2)全程多媒体讲解会加重学生的负担。
教师在课前做好了多媒体课件，一堂课45分钟，多媒体课件呈现的内容要比传统板书讲到的内容多得多，这就要求学生长时间保持精力集中，这实际上对学生的要求是比较高的。
同时，由于多媒体授课内容多，信息量大，很多学生可能连笔记都不能记完整，更谈不上消化、思考了。
因此，我们在授课时应将多媒体教学与传统板书教学相结合，发挥各自的优势，提高教学效果。
一些抽象的概念、图解法等内容我们可以采取多媒体的方式讲解，一些理论的推导等我们可以采用板书的方式详细讲解，有时我们还可以采用板书加多媒体的形式，比如我们讲解单纯形方法时，有些题目迭代次数较多，全程板书会浪费大量的课堂时间，我们可以在第一步迭代时用板书的形式详细讲解每一个步骤及每一个数据的求解方法，力求学生理解掌握迭代的过程，之后的迭代原理和方法就同第一步迭代是相同的，只是数据不同而已，这时我们就可以采用多媒体的形式讲解，避免了重复工作，节省了课堂时间，提高了课堂效率。
3.充分利用网络资源，加强师生之间的交流
现在很多学校都建立了网络教学平台，我们可以将我们的授课计划、教案、多媒体课件等教学资料上传至网络教学平台，学生可以随时随地的查阅课程进度情况、各章节的重点难点提示，通过多媒体课件还可以补充课堂上笔记没有记全或没有记清的部分，教师也可以通过网络教学平台给学生布置课后作业、解答学生的提问等。
另外，我们还可以每一个教学班建立一个QQ群，教师可以通过QQ群与学生进行在线交流，及时了解学生对课程的掌握情况以及学生的需求，也可以在能够讲解清楚的情况下对学生的提问进行解答。
参考文献：
[1] 胡富昌. 经济应用数学基础(四)线性规划(修订本)[M].北京：中国人民大学出版社，1991.5
[2] 《运筹学》教材编写组. 运筹学(修订版)[M].北京：清华大学出版社，2001.2
【线性规划的教学模式】相关文章：
简单的线性规划教学教案10-08
教学模式实验方案10-08
小学数学教学模式探究论文10-10
大专篮球教学模式研究论文10-08
小学数学教学模式研究论文10-09
实施美术教学改革 探索美术教学模式10-26
外科护理教学中案例教学模式的应用论文10-10
高等数学教学模式问题与创新10-06
旅游管理专业教学模式分析论文10-08
小学数学探究教学模式与思路论文10-11