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巧解积分的几种方法
巧解积分的几种方法【1】
【摘要】 有些积分用传统的积分方法计算比较繁琐，该文总结了常用的巧解积分的几种方法和技巧.这些方法和技巧既可以减少计算量，提高计算效率，同时又可以开拓解题思路，提高学生的积分计算能力.
【关键词】 对称性;巧解;计算技巧.
积分学是高等数学的重要组成部分，在理论研究和实际应用中，许多问题都可以归结为积分的计算问题，而且重积分、曲线、曲面积分最终都转化为定积分的计算.计算定积分的一种行而有效的工具是微积分基本公式，即牛顿―莱布尼茨公式.但一个显见的事实是：若被积函数的原函数不能用初等函数表示，则牛顿―莱布尼茨公式就失去了效力;另一方面当被积函数本身形式复杂，传统的积分方法也相形见绌，发挥不了作用.为了减少计算量和提高计算效率，我们总结了如下几种常见的巧解积分的方法和技巧.
一般情况下，积分并不是这种形式，需要通过换元或对称性对积分进行变换或变形.
5.巧用对偶性
有些积分单独考虑时比较难以积出结果，倘若构造出另一个积分作为对偶，两个积分同时考虑则可利用两积分相互之间的良好关联性质，即可简单地求出原积分，这种利用对偶求解积分的方法称为对偶(“伴侣”)法.
总之，由于积分的形式具有多样性，导致积分的计算有很强的灵活性.对具体函数的积分，我们不能只停留在一般的方法上，要积极尝试新的方法，具体问题具体分析，才能寻求到最佳解法提高积分的解题技能.
【参考文献】
[1] 陈兆斗，郑连存，王辉，等.大学生数学竞赛习题精讲[M] .北京：清华大学出版社，2010.
[2] 曹斌，孙艳.对称性在积分计算中的应用[J] .吉林师范大学学报(自然科学版)，2012，33(3)：125-128.
[3] 马军英.用积分域变量轮换对称性计算几类积分[J] .山东师范大学学报(自然科学版)，2004，19(1)：79-81.
[4] 李源，郝小枝.多元数量值函数积分中的轮换对称性[J] .云南大学学报(自然科学版)，2013，35(S2)：433-437.
[5] 同济大学数学系.高等数学(第六版)[M] .北京：高等教育出版社，2013.
巧解排列组合题的几种方法【2】
〔关键词〕 数学教学;排列组合题;解答;方法
排列、组合题是高中数学中相对独立的部分内容，它与其他知识联系较少，内容比较抽象。不少学生在学习排列、组合问题时，感到束手无策，并时常出现错误。那么，怎样才能快速解答排列组合题呢?首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题;其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要讲究一些策略和方法方面的技巧。
一、相邻问题合一法
对于相邻问题，先将相邻元素“合并在一起”，当作一个元素进行全排列，然后再把个别相邻元素进行交换排列。
例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )
A.720种 B.360种 C.240种 D.120种
分析：因为甲、乙必须排在一起，姑且把他们“合并”在一起，当作一个人对待。这样就相当于只有5名同学进行全排列，共有A =120种排法，但甲、乙相邻有两种排法，因而共有2A =2×120=240种排法。
二、不相邻问题定位法
对于不相邻问题，可先将不相邻元素进行“定位”排列，然后再对其他元素进行全排列。
例2 6个人站成一排，甲、乙之间必须间隔两人的不同站法有( )
A.144种 B.72种 C.48种 D.24种
分析：因为甲、乙不相邻，并且他俩之间必须间隔两人。先将甲(乙)安排(或不排)在某位置，后排其他人，按照甲(乙)所站的位置可分3类。
1.甲(乙)站在左起第一位时，乙(甲)必须站在第4位，共有2A =48种。
2.甲(乙)站在左起第二位时，乙(甲)必须站在第5位，共有2A=48种。
3.甲(乙)站在左起第三位时，乙(甲)必须站在第6位，共有2 A=48种。
所以，根据加法原理得，合乎题意的不同排法种数为48+48+48=144种。
三、特殊元素(位置)先排法
对于带有特殊元素(位置)的排列、组合问题，先满足特殊元素或特殊位置，即先考虑特殊元素(位置)，后考虑其他一般元素(位置)。
例3 学校上午共四节课，某班上午要排语文、数学、物理、体育四门课程，要求体育课不能排在第一节和第四节，共有多少种不同排课方案?
分析：本题有两种方法，可以优先安排特殊元素，也可以优先安排特殊位置。下面就优先安排特殊元素的方法进行讲解。
由于体育课不能排在第一节，也不能排在第四节课，故体育课就是“特殊元素”，应优先安排。按体育课排在第二节和第三节课分两类。
1.体育课排在第二节，其余课程做全排列有 A=6种排法排课方案。
2.体育课排在第三节，其余课程做全排列有A=6种排法。
由分类计数原理，共A+A=2A=12种排课方案。
四、先选后排法
从几个元素中选出符合条件的几个元素，然后进行排列组合。
例4 由5男4女中选出3男2女组成体育代表队，但正、副队长必得由男队员担任，问共有( )种选法?
A.126种 B.180种 C.360种 D.720种
分析：5名男运动员中选出3名，有C=10种选法。4名女运动员选出2名，有C=6种选法。按乘法原理，共有C·C=10×6=60种选法。但选出的3名男生哪两名担任正、副队长，这是一个排列问题。于是选正、副队长共有A=6种选法。
把以上队员的选取和正、副队长的选举结合起来，由分步计数原理便知共有C·C·A=10×6×6=360种选法。
五、不相邻问题插空法
对于几个元素不相邻的排列问题，可先将无特殊要求的元素进行全排，再将规定不相邻的元素在已排好的元素之间及两端空隙处插入。
例5 3个男生和4个女生站成一排，男生不能相邻，有多少种不同的排法?
分析：先将4名女生进行排列，共有A=24种排法，再在这四名女生之间及两端的5个“空档”处选三个位置让3名男生插入，则有A=60种排法，所以共有A·A=24×60=1440种排法。
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