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微分方程的应用教学

时间:2022-10-05 17:57:07 数学毕业论文 我要投稿
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微分方程的应用教学

  微分方程的应用教学【1】

微分方程的应用教学

  摘 要: 本文通过一些简单的实例来说明建立微分方程的方法,使学生明确建立微分方程时如何找等量关系,提高其应用数学的能力。

  关键词: 微分方程 等量关系 应用

  在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系比较困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时,可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。在连续变量问题的研究中,微分方程是十分常用的数学工具之一。

  建立微分方程的一般步骤:(1)建立方程:对所研究的问题根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程。(2)求解问题:用所学知识或用数学软件求解。(3)分析问题:通过已求得的解的性质,分析实际问题。

  经验表明,对初学者来说,多数问题出在第一步,不知如何建立方程,其中一个重要原因是不知如何找出具体问题的等量关系。下面以分类的方式总结微分方程的应用。

  一、几何问题

  这类问题常用到导数的几何意义,曲线在某点的切线的斜率就是函数在该点的导数。

  例1:一曲线通过点(4,8)且在该曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为3x,求这条曲线的方程。

  解:设所求曲线方程为y=f(x),由题意有,=3x,并且y|=8,于是y=?蘩3xdx=x+c,将y|=8代入上式,得8=64+C,故C=-56,从而得到所求曲线方程为:y=x-56.

  二、动力学问题

  动力学的基本定律是牛顿第二定律f=ma,这是微分方程解决力学问题的基本关系式。它的右端明显地含有加速度a,而a是位移对时间的二阶导数。列出微分方程的关键在于找出外力f和位移对时间的导数与速度的关系。同时,求解动力学问题时,要特别注意力学问题中的定解条件,如初值条件等。

  例2:设降落伞从跳伞塔下落,所受空气阻力与速度成正比,降落伞离开塔顶(t=0)时的速度为零,求降落伞下落速度与时间t的函数关系。

  解:设降落伞下落速度为v(t),它在下落过程中同时受到重力P与阻力R的作用。重力P=mg,方向与v一致,阻力R=kv(k>0为常数),方向与v相反,从而降落伞所受外力的合力为F=P-R=mg-kv,由牛顿第二定律F=ma,即v=(1-e)m=mg-kv,且有初始条件v|=0.

  将方程分离变量,得=,两边积分得-ln(mg-kv)=+C.

  整理得:v=-Ce(C=e),将初始条件v|=0代入,得C=,故所求速度与时间的函数关系为v=(1-e).

  三、光学问题

  这类问题常用到光学反射定律α=α(入射角=反射角),其中α、α分别是入射光线、反射光线与入射法线间的夹角。

  例3:有旋转曲面形状的凹镜(假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行,求这旋转曲面的方程。

  解:设此凹镜是由xOy面上曲线l:y=y(x)(y>0)绕x轴旋转而成,光源在原点。在l上任取一点M(x,y),作l的切线交x轴于A,点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线。

  由光学及几何原理可以证明OA=OM,因为OA=AP-OP=PMcotα-OP=-x,而OM=,于是得微分方程-x=,整理得=+,这是一个齐次方程。

  问题归结为解齐次方程=+,令=v,即x=yv,得v+y=v+,即y=,分离变量得=,两边积分得ln(v+)=lny-lnC?圯v+=?圯(-v)=v+1?圯-=1,以yv=x代入上式,得y=2C(x+).

  这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线,它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为y+z=2C(x+),这就是所求的旋转曲面方程。

  四、电学问题

  这类问题常用到基尔霍夫定律:在闭合回路中,全部元件的电压降的代数和为0。

  例4:在RLC电路中(如下图),接有电源E,交流电动势为Esinωt,不断地供给能量,当开关K合上后,电路在电动势作用下,不断产生振荡,试建立描述电路中电振动的微分方程。

  解:设电容器上电量Q=Q(t),则电流I=,由回路电压定律有:

  于是得电量Q满足的微分方程:L+R+=Esinωt

  它是一个关于未知函数Q(t)的二阶常系数线性非齐次方程,它描述了在交流电压的作用下,RLC电路中的电振荡,这种振荡称为强迫振荡。

  五、经济学问题

  新产品的推广模型设有某种新产品要推向市场,t时刻的销量为x(t),由于产品性能良好,每个产品都是一个宣传品,因此t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比。同时,考虑到产品销售存在一定的市场容量N,统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N-x(t)也成正比,于是有=kx(N-x)(1.1)

  其中k为比例系数,分离变量积分,可以解得x(t)=(1.2)

  由=,=

  当x(t)0,即销量x(t)单调增加;当x(t)=时,=0;当x(t)>时,<0;当x(t)<时,即当销量达到最大需求量N的一半时,产品最为畅销,当销量不足N一半时,销售速度不断增大,当销量超过一半时,销售速度逐渐减少。

  国内外许多经济学家调查表明,许多产品的销售曲线与公式(1.2)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近。根据对曲线性状的分析,许多分析家认为,在新产品推出的初期,应采用小批量生产并加强广告宣传;在产品用户达到20%到80%期间,产品应大批量生产;在产品用户超过80%时,应适时转产,可以达到最大的经济效益。

  例5:某商场的销售成本y和存贮费用S均是时间t的函数,随时间t的增长,销售成本的变化率等于存贮费用的倒数与常数5的和,而贮存费用的变化率为存贮费用的-倍。若当t=0时,销售成本y=0,存贮费用S=10试求销售成本与时间t的函数关系及存贮费用与时间t的函数关系。

  解答:由已知=+5,=-S。解微分方程得S=Ce,由S|=10得C=10,故存贮费用与时间t的函数关系为S=10e将上式代入微分方程,得=e+5,从而y=e+5t+C,由y|=0,得C=-,从而销售成本与时间t的函数关系为y=e+5t-.

  六、流体混合问题

  例6:有高为1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面面积为1cm。开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律。

  解:由水力学知道,水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算:Q==0.62S,其中0.62为流量系数,S为孔口横截面面积,g为重力加速度。现在孔口横截面面积S=1cm,故=0.62或dV=0.62dt.

  设在微小时间间隔[t,t+dt]内,水面高度由h降至h+dh(dh<0),则又可得到dV=-πrdh,其中r是时刻t的水面半径(右端置负号是由于dh<0而dV>0的缘故,又因r==,所以dV=-π(200h-h)dh.

  通过比较得到0.62dt=-π(200h-h)dh,这就是未知函数h=h(t)应满足的微分方程。

  此外,开始时容器内的水是满的,所以未知函数h=h(t)还应满足下列初始条件:h|=100.

  将方程0.62dt=-π(200h-h)dh分离变量后得dt=-(200h-h)dh,两端积分得t=-?蘩(200h-h)dh,即t=-(h-h)+C,其中C是任意常数.由初始条件得t=-(×100-×100)+C,C=(-)=××10,因此t=(7×10-10h+3h).

  上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系。

  参考文献:

  [1]潘家齐.常微分方程[M].北京:中央广播电视大学出版社,2002,7.

  [2]同济大学数学教研室编.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002,7.

  常微分方程的教学【2】

  摘 要: 常微分方程是一门重要的数学基础课,作者结合教学经验,对常微分方程的教学方法进行初步探讨。

  关键词: 常微分方程 教学方法 数学建模 线性代数 微课

  在自然科学和社会科学的研究中,许多现象及事物发展的规律都可用数学模型表示出来,而常微分方程是数学建模中最基本的工具。

  同时,又是应用数学专业一门重要的基础课,对先修课程及后续相关课程起到承上启下作用。

  现我对于怎样教好常微分方程这门课以达到该课程教学目的,提高教学质量,谈谈一些体会和看法。

  一、让学生了解常微分方程课程的特点,认识到学好该课程的重要意义。

  常微分方程是学习其他数学理论后续课程的基础,这些课程包括数理方程、微分几何、泛函分析等。

  课程本身既有严密的逻辑性,又有一定的应用性,但目前高校常微分方程课程大多还停留在传统教师主讲形式,偏理论,轻应用,使学生极易产生排斥心理。

  因此,讲授这门课内容之前,教师不妨先利用一些简单的物理、生物和化学等相关学科的模型引入,让学生深刻认识到这门课是解决实际问题的有力工具,提高学生对课程的兴趣。

  二、培养学生的学习兴趣。

  教师要注意采用多种教学方法,不能为了赶教学进度直接把定义、定理、证明一一搬出来,使学生陷入枯燥的学习中,进而失去学好这门课的兴趣。

  因此,教师在教学过程中既要充分发挥自身的主导作用,又要让学生积极、主动地参与到教学中。

  比如,学习了二阶常系数线性方程的求解后,可以引导学生根据中学时接触过的单摆问题,先让他们尝试建立简单的物理模型并加以讨论,由此得到出现简谐振动、共振现象的条件。

  三、根据授课对象,对教学内容进行适当增减,教学难度应有所不同。

  学生所学的专业对数学基础的要求不尽相同,因此,教师应该根据学生专业选择授课内容。

  比如,若授课对象是应用数学或数理专业的学生,则除了要求掌握常微分方程的计算技巧外,还应强调基本数学定理的证明。

  若授课对象为金融数学专业,常微分方程的作用主要体现在应用上,因此教师在授课中应侧重数值计算,复杂的定理推导可以仅介绍证明思路。

  此外,若教师在平时工作中注意收集相关实际案例,把这些案例引入各类专业课堂教学中,则对促进学生学习积极性提高起到至关重要的作用。

  四、注意本课程与其他课程的相互渗透。

  常微分方程教学内容中,计算占了很大比例,而课程本身就是结合线性代数、解析几何等相关数学知识解决数学理论和其他学科中出现的微分方程问题。

  因此,教学中,除了让学生掌握基本计算方法外,还要注意与其他课程的相互渗透。

  如学习求解常系数线性方程组的基解矩阵这部分内容时,若方程组的系数矩阵A(设为n阶)恰好有n个线性无关的特征向量,则可直接利用课本上的定理写出其基解矩阵。

  此外,还可引导学生根据线性代数的知识知A可对角化,则通过可逆的线性变换必能将系数矩阵化为对角形,使得方程组的求解易于进行。

  五、结合运用多媒体技术。

  传统的教学方法以板书为主,但是由于常微分方程这门课中定理的理论证明比较多,一味板书和讲授会让学生产生厌烦心理。

  因此,教师应该把传统教学方式与现代教学手段结合起来,借助多媒体把板书内容适当变得有趣一些。

  如学习解的延拓时,可以用动态画面把这部分内容展现出来,让学生在脑海里有较为直观的印象,接着引导学生思考、总结方程的解向左右两边延拓的情形究竟如何,最后教师对学生总结出的内容给予相应修改、补充。

  这样教师既可以较为轻松地把抽象的定理内容传授给学生,又可以让学生参与到课堂讨论中。

  六、将微课形式融入教学中。

  近年来,微课在我国发展很快,这一新的教学形式逐渐成为教育信息化的热点之一。

  它不同于传统课程,主要以教学视频为表现形式,具有内容少而精的特点。

  由于常微分方程课时的限制,教师不可能将课程全部内容都在课堂教学中呈现出来,而且有些较难的知识点通过教师的讲授可能还有部分学生无法掌握。

  因此,教师可根据课程内容的特点,将微课适当引入教学中。

  例如,讲授求常系数线性方程组基解矩阵这一部分内容时,在课堂上教师主要介绍根据空间分解理论所得的基本计算公式,至于其他计算方法,如利用约当标准形,以及利用哈密杜顿-凯莱定理的方法,教师可将其录制成微课放在网上,供感兴趣的学生自行学习。

  这样可以让学生充分利用课余时间学习这门课,激发学生的学习热情和创造性。

  但需要注意的是,微课只是教学辅助手段,并不是所有常微分方程的知识都适合制作成微课,因此在知识点选择上还需教师反复推敲,在教学中适当融入微课,才能达到提高教学质量的目的。

  常微分方程是一门重要的基础课程,随着科技进步,高校教师应紧跟时代前进步伐,更好地设置教学内容和教学模式,尽可能深入浅出地讲授这门课程。

  参考文献:

  [1]王高雄,周之铭,等.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

  [2]胡铁生.“微课”:区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究,2011(10):61-65.

  [3]杨晨.常微分方程教学改革探讨[J].长春师范大学学报:自然科学版,2014(3):167-169.

  [4]白灏.方程在数学建模中的思想及应用研究[J].湖北第二师范学院学报,2015,32(2):106-108.

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