高等数学中的化归方法论文

高等数学中的化归方法论文

　　摘 要：化归方法是数学研究中最基本的思维方法之一。 本文分析了化归方法的思维结构， 并结合微积分学的相关内容， 对化归法逐一加以论述， 希望化归方法在高等数学教学中发挥重要作用。

　　关键词：化归方法 微积分学 思维 问题

　　数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，它具有逻辑性、系统性、条理性和抽象性等特点。学生学习数学往往有一些客观困难。为了使学生能掌握数学解题方法，教师往往采取题海战术，增加了学生负担，耗时多，效果却不明显。若能在教学中渗透几种常见的数学思想，让学生掌握几种特殊的解题方法，将会取得事半功倍的效果。化归思想就是一种应用很广泛且灵活的数学思想，化归方法是数学研究中最基本的思维方法之一，其特点是灵活性、多样性、综合性，它要求人们要有较深厚扎实的数学的“悟性“。辞海称，化：改变、变化、高超也；归：趋向、归结 、返回也。所谓“化归”，就是转化和归结。数学思维方法中所论及的“ 化归方法”，就是通过变换，促使转化，将复杂的问题化归为较为简单的问题，将困难的问题化归为较为容易的问题，将求解的未知问题化归为可以解决的已知问题。著名數学家路莎-彼得在其有关数学思维方法的著作《无穷的玩艺》中指出：“数学家们往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断的将它变形。直到把它转变成能够得到解决的问题。”在数学发展过程中，许多杰出的数学家从不同的角度，对化归方法做过精辟的分析和论述，其中笛卡尔在《指导思维的法则》一书中，将化归方法称为 “万能方法” 。在数学研究工作中，总是试图把高维的化为低维的，多元的化为一元的，高次的化为低次的，把几何问题化为代数问题，把积分方程化为微分方程等等。这些都是化归思维方法在起着主导作用。化归方法必须遵循简单化原则，熟悉化原则、具体化原则以及和谐化原则，于化归方法往往没有统一的模式，因此应当采取且必须采取具体问题具体分析的方法来解决。本文就微积分中涉及的相关问题，利用化归方法逐一讨论。

　　一、恒等变形化归法

　　这类化归方法旨在找到等价命题，力求在恒等变形中找到容易解决等价命题，以此来解决原来的问题。

　　二、变量代换化归法

　　变量代换的方法贯穿于微积分的始终，极限运算中有等价无穷小的代换，积分中有第一、第二换元法等，都是运用了变量代换化归法。

　　三、构造化归法

　　闭区间连续函数的零点定理的“构造性证明法”，微分中值定理证明中构造的辅助函数等，都是微积分学中，构造化归法这一经典思维方法运用的典型例子。构造化归法的巧妙之处是其他方法不能取代的，从下列例子中可以看出。

　　例一：证明：当x>0时，ex>1+x

　　直接证明难度非常大，因此需要把问题转化，故构造辅助函数f（x）=ex-1-x

　　然后由函数的单调性的判别法证明该不等式。

　　化归方法绝不止以上几种，还有复数法、向量法、参数法等，只是由于这些方法相对比较简单，在此就做赘述了。总之，在数学教学中要经常渗透一些数学思想和方法，引导学生变换角度思考、分析、解决问题， 带领学生集思广益，共同探求一个问题的不同解法和引申， 激励学生创造性地解决问题，培养学生思维的灵活性和广阔性，促进学生求异思维和创造性思维的发展。

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