求角的度数四法方法

时间：2022-10-26 07:09:39 学习方法我要投稿

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求角的度数四法方法

　　在学习与三角形有关的角时，同学们会遇到许多求角的大小的问题，其中有些题目看似简单，却很难入手，有些题目因思考不全面而造成漏解。怎么办?要知道，数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙。本文就谈谈数学思想方法在求解角的度数问题中的运用，希望对同学们解题有所帮助。

　　1、整体法

例1 如图1，若点P为△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，求∠BPC ∠A的度数。

　　图1

　　分析：解本题的关键在于从整体着眼，利用∠PBC+∠PCB建立∠A和∠BPC的联系。

解：∵∠PBC= ∠ABC ∠PCB= ∠ACB

　　∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)

∴∠BPC- ∠A

　　2、方程法

　　例2 如图2，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC的度数。

　　图2

　　分析：根据三角形的内角和定理，结合已知条件可先求出∠A、∠ABC、∠ACB的度数。在△BHC中，还需求出∠DBC和∠ECB的度数。

　　解：设∠A=3x度，则∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。

所以。

　　解得x=15，即∠A=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°

　　在△DBC中，由∠BDC=90°，可知△DBC是直角三角形。

　　所以∠DBC=90°-75°=15°

　　在△ECB中，由∠CEB=90°，可知△ECB是直角三角形。

　　所以∠ECB=90°-60°=30°

　　在△BHC中，∠BHC=180°-15°-30°=135°

点评：由于∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，设∠A=3x度，则∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。再根据三角形内角和定理，就可以得到一个关于x的方程，即。从而求得∠A、∠ABC、∠ACB的度数。这种方法会经常用到，要注意掌握。

　　3、分类法

　　例3 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，求∠BHC的度数。

　　分析：三角形的形状不同，高线的交点的位置也不同。当三角形为锐角三角形时，高的交点在其内部;当三角形为钝角三角形时，高的交点在其外部。故应分两种情况讨论。

　　解：(1)设△ABC为锐角三角形(如图3)。

　　图3

　　∴BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，

　　∴∠ABD=90°-45°=45°

　　∴∠BHC=∠ABH+∠BEH

　　=45°+90°

　　=135°

　　(2)设△ABC为钝角三角形(如图4)

　　图4

　　∴H是△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，

　　∴∠DCH=∠ECA

　　=90°-45°

　　=45°

　　∴∠BHC=90°-∠DCH

　　=90°-45°

　　=45°

　　综上可知，∠BHC的大小是135°或45°。

　　4、构造法

　　例4 如图5，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数。

　　图5

　　分析：若把∠BDC、∠BGC、∠A看成是三角形的内角，则必须构造三角形。结合图形不难发现，连接BC即可。

　　解：连接BC。

　　∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°

　　∠BDC=140°

　　∴∠DBC+∠DCB=40°

　　又∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°

　　∠BGC=110°

　　∴∠GBD+∠GCD=180°-110°-40°=30°

∵∠GBD ∠ABD ∠GCD= ∠ACD

　　∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=60°

　　∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)

　　=180°―60°―40°

　　=80°。

　　点评：此题还可延长CD交BE于一点，请同学们尝试一下这种解法。在进行与角有关的计算时，为了能使用三角形内角和定理及内角与外角的关系，常常需要构造三角形或三角形的外角，这时需要添加某些线段或延长某些线段。

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