巧用面积法解题方法

时间：2022-10-26 07:10:00 学习方法我要投稿

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巧用面积法解题方法

　　许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解，下面举例介绍面积法的运用。

　　一. 用面积法证线段相等

　　例1. 已知：如图1，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E。

　　求证：CF=BE。

　　图1

　　证明：连结EC，由BD=DC得，

，

　　两式两边分别相加，得

故

　　所以BE=CF。

注：直接由得更简洁。

　　二. 用面积法证两角相等

　　例2. 如图2，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。

　　求证：∠AOC=∠BOC。

　　图2

　　证明：过点C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分别为P、Q。

　　因为△ACD、△BCE都是等边三角形，

　　所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，

　　所以∠ACE=∠DCB

　　所以△ACE≌△DCB

所以AE=BD，

　　可得CP=CQ

　　所以OC平分∠AOB

　　即∠AOC=∠BOC

　　三. 用面积法证线段不等

　　例3. 如图3，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。

　　求证：BD>CD。

　　图3

　　证明：过点D分别作DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F

　　设BC边上的高为h。

　　因为∠BAD=∠DAC

　　所以DE=DF

因为

　　且AD>AC

所以即

　　所以BD>CD

　　四. 用面积法证线段的和差

　　例4. 已知：如图4，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。

　　求证：PE+PF+PD=h。

　　图4

　　证明：连结PA、PB、PC

因为，又所以。

　　因为△ABC是等边三角形

所以

　　即PE+PF+PD=h

　　五. 用面积法证比例式或等积式

　　例5. 如图5，AD是△ABC的角的平分线。

求证：。

　　图5

　　证明：过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。

　　因为AD是△ABC的角的平分线，

　　所以DE=DF，

则有。

　　过A点作AH⊥BC，垂足为H，

则有即

　　六. 用面积比求线段的比

　　例6. 如图6，在△ABC中，已知BC、AC边上的中线AD、BF交于M。

求证：。

　　图6

　　证明：连结CM，过B作BG⊥AD交AD延长线于G，则

，所以。又，所以，所以。

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