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谈谈二元一次方程组中的消元方法

时间:2022-10-26 07:11:46 学习方法 我要投稿
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谈谈二元一次方程组中的消元方法

  二元一次方程组中的数学思想,主要是指数学的“消元”思想,即:二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,将二元一次方程组转化为一元一次方程,这样就可以先解出一个未知数,然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。

  具体转化方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”,达到把二元一次方程组中的二个未知数消去一个未知数,得到一元一次方程,从而实现消元,进而解决问题。下面举例说明:

  一、利用代入法快速求值:

  新人教版7年级下册105页有这样的描述:在二元一次方程组的一个方程中,把一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法,简称代入法。

  借此消元思想,我们可以快速地解决许多求定值的问题。

例1.若3x-4y=0,且xy≠0,则 的值等于 。解. 由3x-4y=0得:3x=4y,把3x=4y代入 得 = =

  点评:此题巧妙借助代入法解决求定值问题。

  例2. 已知x2-2x-5=0,将下列式子先化简再求值:(x-1)2

  +(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

  解:原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3

  =3x2-6x-5

  =3(x2-2x)-5

  ∵ x2-2x-5=0

  ∴ x2-2x=5

  ∴ 原式=3×5-5=10

点评:利用“整体思想”将所给条件x2-2x-5=0变形为x2-2x=5,然后整体代入化简后的式子3(x2-2x)-5中,可收到“事半功倍”的效果。若先解方程x2-2x-5=0,得x=1±√6,再分别代入3x2-6x-5中求值,则没有抓住题目特征进行简便运算。

  二、利用加减法快速求值:

  新人教版7年级下册108页有这样的描述:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

  合理利用此思想,在求值题中同样可以收到事半功倍的效果。

例3. 若4x+5y=10,且5x+4y=8,则 。解:由题意得:

  由 ① + ② 得:9x+9y=18 即:x + y= 2

  由 ② - ①得:x - y=-2

所以 -1

  点评:若直接把4x+5y=10和5x+4y=8组成方程组,求出方程组的解,再把解代入求值。这样运算量不仅大,而且容易出错。

  如果认真分析所求值式,可考虑利用加减法很快求得x+y和x-y的值,于是此题迎刃而解。

  三、化“未知”为“已知”

例4.已知 ,则x:y:z= ; 解:将方程组 中

  由② - ① 得:y-3z=0

  ∴ y=3z ③

  把 ③ 代入 ② 中得: x = 2z

  ∴ x:y:z=2z:3z:z= 2:3:1

  点评:此方程组中含有三个未知数,要解决该问题,就需要大胆创新,我们初一学生只学习了解二元一次方程组,根据化“未知”为“已知”的“消元”思想,就创造性地把它看作是关于x、y的二元一次方程组,从而找到解决问题的突破口。

  总之,教师若能在平时教学中合理展示数学思想和具有代表性的数学方法,既可以让学生明晰数学知识之间的脉络和联系,同时还有利于提高学生的解决问题的能力。

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