证明三角形全等的一般思路

时间：2022-10-26 07:12:30 学习方法我要投稿

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证明三角形全等的一般思路

　　一、当已知两个三角形中有两边对应相等时，找夹角相等(SAS)或第三边相等(SSS)。

证明三角形全等的一般思路

　　例1. 如图1，已知：AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，且B、C、D在同一条直线上。

　　求证：AD=BE

　　分析：要证AD=BE

　　注意到AD是△ABD或△ACD的边，BE是△DEB或△BCE的边，只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE，显然△ABD和△DEB不全等，而在△ACD和△BCE中，AC=BC，CD=CE，故只需证它们的夹角∠ACD=∠BCE即可。

　　而∠ACD=∠ACE+60°，∠BCE=∠ACE+60°

　　故△ACD≌△BCE(SAS)

　　二、当已知两个三角形中有两角对应相等时，找夹边对应相等(ASA)或找任一等角的对边对应相等(AAS)

　　例2. 如图2，已知点A、B、C、D在同一直线上，AC=BD，AM∥CN，BM∥DN。

　　求证：AM=CN

　　分析：要证AM=CN

　　只要证△ABM≌△CDN，在这两个三角形中，由于AM∥CN，BM∥DN，可得

　　∠A=∠NCD，∠ABM=∠D

　　可见有两角对应相等，故只需证其夹边相等即可。

又由于AC=BD，而

　　故AB=CD

　　故△ABM≌△CDN(ASA)

　　三、当已知两个三角形中，有一边和一角对应相等时，可找另一角对应相等(AAS，ASA)或找夹等角的另一边对应相等(SAS)

　　例3. 如图3，已知：∠CAB=∠DBA，AC=BD，AC交BD于点O。

　　求证：△CAB≌DBA

　　分析：要证△CAB≌△DBA

　　在这两个三角形中，有一角对应相等(∠CAB=∠DBA)

　　一边对应相等(AC=BD)

　　故可找夹等角的边(AB、BA)对应相等即可(利用SAS)。

　　四、已知两直角三角形中，当有一边对应相等时，可找另一边对应相等或一锐角对应相等

　　例4. 如图4，已知AB=AC，AD=AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F。

　　求证：AE=AF

　　分析：要证AE=AF

　　只需证Rt△AEB≌Rt△AFC，在这两个直角三角形中，已有AB=AC

　　故只需证∠B=∠C即可

　　而要证∠B=∠C

　　需证△ABG≌△ACD，这显然易证(SAS)。

　　五、当已知图形中无现存的全等三角形时，可通过添作辅助线构成证题所需的三角形

　　例5. 如图5，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是中线，AE⊥BD于F，交BC于E。

　　求证：∠ADB=∠CDE

　　分析：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等，故需作辅助线。注意到AE⊥BD，∠BAC=90°，有∠1=∠2，又AB=AC。故可以∠2为一内角，以AC为一直角边构造一个与△ABD全等的直角三角形，为此，过C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则△ABD≌△CAG，故∠ADB=∠CGA。

　　对照结论需证∠CGA=∠CDE

　　又要证△CGE≌△CDE，这可由

　　CG=AD=CD，∠ECG=∠EBA=∠ECD，CE=CE而获证。

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