学习总结

高中导数题型总结

时间:2022-11-14 08:57:46 学习总结 我要投稿
  • 相关推荐

高中导数题型总结

  总结是对过去一定时期的工作、学习或思想情况进行回顾、分析,并做出客观评价的书面材料,通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况,让我们抽出时间写写总结吧。那么你知道总结如何写吗?下面是小编帮大家整理的高中导数题型总结,仅供参考,希望能够帮助到大家。

高中导数题型总结

  首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法。

  最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

  一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;

  1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:

  第一步:令得到两个根;

  第二步:画两图或列表;

  第三步:由图表可知;

  其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,

  2、常见处理方法有三种:

  第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)

  第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);

  例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,

  (1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围;

  (2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值.

  解:由函数得

  (1)在区间上为“凸函数”,

  则在区间[0,3]上恒成立

  解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于

  解法二:分离变量法:

  ∵当时,恒成立,

  当时,恒成立

  等价于的最大值()恒成立,

  而()是增函数,则

  (2)∵当时在区间上都为“凸函数”

  则等价于当时恒成立

  变更主元法

  再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)

  请同学们参看2010第三次周考:

  例2:设函数

  (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

  (Ⅱ)若对任意的不等式恒成立,求a的取值范围.

  (二次函数区间最值的例子)

  解:(Ⅰ)

  令得的单调递增区间为(a,3a)

  令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+)

  ∴当x=a时,极小值=当x=3a时,极大值=b.

  (Ⅱ)由||≤a,得:对任意的恒成立①

  则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)

  即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。

  上是增函数.(9分)

  ∴

  于是,对任意,不等式①恒成立,等价于

  又∴

  点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系

  第三种:构造函数求最值

  题型特征:恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型

  例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为,

  (Ⅰ)求的值;

  (Ⅱ)当时,求的值域;

  (Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。

  解:(Ⅰ)∴,解得

  (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减

  又

  ∴的值域是

  (Ⅲ)令

  思路1:要使恒成立,只需,即分离变量

  思路2:二次函数区间最值

  二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

  解法1:转化为在给定区间上恒成立,回归基础题型

  解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;

  做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集

  例4:已知,函数.

  (Ⅰ)如果函数是偶函数,求的极大值和极小值;

  (Ⅱ)如果函数是上的单调函数,求的取值范围.

  解:.

  (Ⅰ)∵是偶函数,∴.此时,,

  令,解得:.

  列表如下:

  (-∞,-2)

  -2

  (-2,2)

  2

  (2,+∞)

  +

  0

  -

  0

  +

  递增

  极大值

  递减

  极小值

  递增

  可知:的极大值为,的极小值为.

  (Ⅱ)∵函数是上的单调函数,

  ∴,在给定区间R上恒成立判别式法

  则解得:.

  综上,的取值范围是.

  例5、已知函数

  (I)求的单调区间;

  (II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想

  (I)

  1、

  当且仅当时取“=”号,单调递增。

  2、

  单调增区间:

  单调增区间:

  (II)当则是上述增区间的子集:

  1、时,单调递增符合题意

  2、,

  综上,a的取值范围是[0,1]。

  三、题型二:根的个数问题

  题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题

  解题步骤

  第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;

  第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;

  第三步:解不等式(组)即可;

  例6、已知函数,,且在区间上为增函数.

  求实数的取值范围;

  若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.

  解:(1)由题意∵在区间上为增函数,

  ∴在区间上恒成立(分离变量法)

  即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为

  (2)设,

  令得或由(1)知,

  ①当时,,在R上递增,显然不合题意…

  ②当时,,随的变化情况如下表:

  —

  ↗

  极大值

  ↘

  极小值

  ↗

  由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即∴,解得

  综上,所求的取值范围为

  根的个数知道,部分根可求或已知。

  例7、已知函数

  (1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值;

  (2)若,在(1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;否则说明理由。

  解:(1)∵的图像过原点,则,

  又∵是的极值点,则

  (2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,

  等价于有含的三个根,即:

  整理得:

  即:恒有含的三个不等实根

  (计算难点来了:)有含的根,

  则必可分解为,故用添项配凑法因式分解,

  十字相乘法分解:

  恒有含的三个不等实根

  等价于有两个不等于-1的不等实根。

  题2:切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

  例7、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.

  (1)由题意得:

  ∴在上;在上;在上

  因此在处取得极小值

  ∴①,②,③

  由①②③联立得:,∴

  (2)设切点Q,

  过

  令,

  求得:,方程有三个根。

  需:

  故:;因此所求实数的范围为:

  题3:已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数

  解法:根分布或判别式法

  例8、

  解:函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时,f(x)=x3-x2+10x,

  =x2-7x+10,令,解得或.

  令,解得

  可知函数f(x)的单调递增区间为和(5,+∞),单调递减区间为.

  (Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,

  要使函数y=f(x)在(1,+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞)

  根分布问题:

  则,解得m>3

  例9、已知函数,(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.

  解:(1)

  当时,令解得,令解得,

  所以的递增区间为,递减区间为.

  当时,同理可得的递增区间为,递减区间为.

  (2)有且仅有3个极值点

  =0有3个根,则或,

  方程有两个非零实根,所以

  或

  而当或时可证函数有且仅有3个极值点

  其它例题:

  1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是-11.

  (Ⅰ)求函数的解析式;

  (Ⅱ)若时,恒成立,求实数的取值范围.

  解:(Ⅰ)

  令=0,得

  因为,所以可得下表:

  0

  +

  0

  -

  ↗

  极大

  ↘

  因此必为最大值,∴因此,,

  即,∴,∴

  (Ⅱ)∵,∴等价于,

  令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,

  为此只需,即,

  解得,所以所求实数的取值范围是[0,1].

  2、(根分布与线性规划例子)

  (1)已知函数

  (Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;

  (Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.

  解:(Ⅰ).由,函数在时有极值,

  ∴

  ∵∴

  又∵在处的切线与直线平行,

  ∴故

  ∴…………………….7分

  (Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值,

  ∴即令,则

  ∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

  易得,,,,,

  同时DE为△ABC的中位线,

  ∴所求一条直线L的方程为:

  另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,

  由得点F的横坐标为:

  由得点G的横坐标为:

  ∴即

  解得:或(舍去)故这时直线方程为:

  综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分

  (Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值,

  ∴即令,则

  ∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

  易得,,,,,

  同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:

  另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H,

  由得直线L与AC交点为:

  ∵,,

  ∴所求直线方程为:或

  3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。

  (Ⅰ)求的值;

  (Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为,求函数f(x)的解析式;

  (Ⅲ)若方程有三个不同的根,求实数a的取值范围。

  解:由题知:

  (Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),且=0

  得

  (Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5

  解得a=1,b=–6

  所以f(x)=x3–6x2+9x+3

  (Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)

  =3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①

  若方程f(x)=8a有三个不同的根,当且仅当满足f(5)<8a

  由①②得–25a+3<8a<7a+3

  所以当

  4、(根的个数问题)已知函数

  (1)若函数在处取得极值,且,求的值及的单调区间;

  (2)若,讨论曲线与的交点个数.

  解:(1)

  ………………………………………………………………………2分

  令得

  令得

  ∴的单调递增区间为,,单调递减区间为…………5分

  (2)由题得

  即

  令……………………6分

  令得或……………………………………………7分

  当即时

  -

  此时,,,有一个交点;…………………………9分

  当即时,

  ∴当即时,有一个交点;

  当即时,有两个交点;

  当时,,有一个交点.………………………13分

  综上可知,当或时,有一个交点;

  当时,有两个交点.…………………………………14分

  5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数.

  (Ⅰ)若函数在处有极值,求的解析式;

  (Ⅱ)若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,求实数的取值范围.

【高中导数题型总结】相关文章:

导数题型归纳总结07-22

英语四级新题型翻译技巧10-12

高中个人总结05-22

高中个人总结05-12

高中学习总结04-10

高中学习总结03-19

高中月考总结与反思05-21

高中学习总结11-23

高中个人总结范文06-26

高中个人期末总结06-25