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函数求极限的方法总结

时间:2024-08-17 21:26:27 总结 我要投稿
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函数求极限的方法总结

  函数求极限是高中数学的一道大题,大家是否掌握这道题的解题方法呢?以下是小编精心准备的函数求极限的方法总结,大家可以参考以下内容哦!

函数求极限的方法总结

  求极限的几种简单方法总结【1】

  1.验证定义。:“猜出”极限值,然后再验证这个值确实是极限值/验证收敛,再由极限唯一性可得。

  2.利用收敛定理、两边夹、关于无穷小/大的一些结果,四则运算、复合(形式上的“换元公式”)、函数极限的序列式定义。

  从1+2得到的一些基本的结果出发,利用3就可以去完成一大堆极限运算了。

  先从函数极限开始:

  3.利用初等函数的连续性,结果就是把求极限变成了求函数值。

  4.关于P(x)/Q(x),P、Q是两个多项式。如果Q(a)不等于0,见4;如果Q(a)等于0但P(a)不等于0,Infinity;如果Q(a)=P(a)=0,利用综合除法,P、Q均除以(x-a),可以多除几次直到"Q"不能被整除,这时候就转化为前面的.情形。

  5.其它0/0:利用“换元”尽一切可能地转化为几种基本极限中的一种或多种。当然这里有一大杀器L'Hospital法则,不过注意它不能用来求sin x/x(x趋于0),因为:L'Hospital法则需要sin的导数,而求出lim sin x/x——求sinx的导数。

  关于序列极限;

  6.0/0,利用a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+ba^(n-2)+……+b^(n-1)]以及加减辅助项,尽量把减转化为加。

  7.如果是递推形式,先利用递推式求出极限(如果有)应该满足的方程,求出极限,然后验证序列收敛。或者利用压缩映像。

  计算极限的常用方法【2】

  (一) 四则运算法则

  四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解,即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商,各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意:(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则,(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大,就从无穷大中选取起主要作用的那一项,选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项,对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数,幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

  (二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

  洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式,所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然,在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足,尤其要注意第二三个条件,当三个条件都满足的`时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简,把要求极限的式子化成“干净”的式子,否则会遇到越求导越麻烦的情况,有的甚至求不出来,所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换,有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小,以及替换原则(乘除因子可以替换,加减不要替换)。考研中,除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查,这种类型的题目,首先要考虑洛必达,但是我们也要掌握变限积分求导。

  另外,考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型,会出“零乘以无穷”,“无穷减无穷”这种形式,我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

  (三) 利用泰勒公式求极限

  利用泰勒公式求极限,也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广,如

  (四) 定积分定义

  考研中求n项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来,这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式

  只要把要求的极限凑成等是左边的形式,就可以用定积分去求极限了。

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