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不等式复习教学教案
教学设计
教学过程
ax2＋bx＋c＝0的根x1,2＝－b±Δ2a
例2若正数x、满足6x＋5＝36，求x的最大值．
例3不等式axx－1＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a.
二元一次
例2某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：
级别加工能力(个/人天)成品合格率(%)工资(元/天)
工厂要求每天至少加工配件2 400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．
(万元)到D到E到F
怎样确定调运方案，使总的运费最少？
(设计者：郑吉星)
备课资料
一、备用例题
【例1】 已知0＜x＜13，求函数＝x(1－3x)的最大值．
活动一：原函数式可化为＝－3x2＋x，利用二次函数求某一区间的最值．
解法一：(利用二次函数法可获得求解)(解略)
活动二：挖掘隐含条件，∵3x＋1－3x＝1为定值，且0＜x＜13，则1－3x＞0；可用均值不等式．
解法二：∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.∴＝x(1－3x)＝133x(1－3x)≤13(3x＋1－3x2)2＝112，当且仅当 3x＝1－3x，即x＝16时， ax＝112.
【例2】求＝sinx＋5sinx的最小值，x∈(0，π)．
错解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.∴＝sinx＋5sinx≥25.∴in＝25.
错因：＝25的充要条件是sinx＝5sinx，即sin2x＝5，这是不存在的．
正解：∵x∈(0，π)，∴sinx＞0.又＝sinx＋5sinx＝sinx＋1sinx＋4sinx≥2＋4sinx，当且仅当sinx＝1sinx，即sinx＝1时，取“＝”．而此时4sinx也有最小值4，
∴当sinx＝1时，in＝6.
【例3】已知正数x、满足2x＋＝1，求1x＋1的最小值．
错解：∵1＝2x＋≥22x，∴x≤122，即1x≥22.
∴1x＋1≥21x≥222＝42，即1x＋1的最小值为42.
错因：过程中两次运用了均值不等式中取“＝”过渡，而这两次取“＝”的条 件是不同的，故结果错．
正解一：∵2x＋＝1，∴1x＋1＝(2x＋)(1x＋1)＝2＋2x＋x＋1≥3＋22，当且仅当x＝2x，即＝2x时，取“＝”．
而＝2x2x＋＝1 ?x＝12＋2，＝22＋2，即此时in＝3＋22.
正解二：∵1x＋1＝2x＋x＋2x＋＝3＋x＋2x(以下同解一)．
小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“＝”成立的诸条件是否相容．
【例4】 已知正数x、满足x＝x＋＋3，试求x、x＋的范围．
解法一：由x＞0，＞0，则x＝x＋＋3 x－3＝x＋≥2x，即(x)2－2x＋3≥0.
解得x≤－1(舍去)或x≥3，当且仅当x＝且x＝x＋＋3，即x＝＝3时取“＝”，故x的取值范围是[9，＋∞)．
又x＋＋3＝x≤(x＋2)2 (x＋)2－4(x＋)－12≥0 x＋≤－2(舍去)或x＋≥6，当且仅当x＝且x＝x＋＋3，即x＝＝3时取“＝”，故x＋的取值范围是 [6，＋∞)．
解法二：由x＞0，＞0，x＝x＋＋3? (x－1)＝x＋3，知x≠1，则＝x＋3x－1.
由＞0? x＋3x－1＞0? x＞1，则
x＝xx＋3x－1＝x2＋3xx－1＝x－12＋5x－1＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋5≥2x－14x－1＋5＝9，当且仅当x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得＝3时取“＝”，故x的取值范围是[9，＋∞)．
x＋＝x＋x＋3x－1＝x＋x－1＋4x－1＝x＋4x－1＋1＝(x－1)＋4x－1＋2
≥2x－14x－1＋2＝6.
当且仅当x－1＝4x－1(x＞0)，即x＝3，并求得＝3时取“＝”，故x＋的取值范围是[6，＋∞)．
点评：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧．
总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的．
【例5】 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米，
(1)求a关于h的解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．
解：(1)设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得
a2＋412h′a＝2，h2＋14a2＝h′2，消去h′，解得a＝1h2＋1(a＞0)．
(2)由V＝13a2h＝h3h2＋1(h＞0)，
得V＝13h＋1h，而h＋1h≥2h1h＝2.
所以V≤16，当且仅当h＝1h，即h＝1时取等号；
故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．
二、不等式的证明方法探究
1．配方法
把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的．
2．判别式法
通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程，然后利用二次方程的判别式，从而使不等式得证．
3．比较法
为了证明A＞B，可转化为证明 A－B＞0，或者当B＞0时转化为证 明AB＞1.
4．放缩法
为了证明A＜B，可设法证明A＜C，且C＜B.有时也可考虑证明加强命题．
5．数学归纳法
常用来证明与正整数有关的命题．
6．构造法
构造适当的图形，使要证的命题比较直观地反映出来．
7．辅助函数法
函数是数学中的一个重要内容，它与不等式有密切的联系．
通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明该不等式．通常我们可以利用以下一些函数的性质：
(1)函数＝ax2＋bx＋c，若a＞0，则≥0?Δ≤0；(2)三角函数的有界性；(3)函数的单调性；(4)函数的凸性；(5)函数的导数．
8．换元法
通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式．
应用换元法，可把字母多化成字母少，可把紊乱的不等式化成简单的、条理清晰的不等式．
常用的换元方法有三角换元和均值换元．
(1)三角换元
x2＋2＝r2(r＞0) x＝rcsα，＝rsinα(0≤α＜2π)；x2＋2≤a2 x＝rcsα，＝rsinα(0≤α＜2π，r≤|a|)；x2－2＝r2(r＞0) x＝rsecα，＝rtanα(0≤α＜2π)．
(2)均值换元
x＋＝a x＝a2－ε，＝a2＋ε；x＋＋z＝a x＝a3＋α，＝a3＋β，α＋β＋γ＝0.z＝a3＋γ
另外，在证明的过程中还经常使用整体换元，即用一个变量代替一个整式．
9．逐步调整法
在证明不等式的过程中，对某一个函数式的某些变元进行调整(变大或变小)，观察其值的变化，从中发现函数式的最值．
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