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数列通项公式问题探究
下面是一篇关于数列通项公式问题探究的论文,对正在写有关数学论文的写作者有一定的参考价值和指导作用!
摘要：求通项是高考中经常出现的形式，但是这方面的题目形式多变，技巧性较强，导致这一内容成为学生学习数列问题的难点。本文对一些常见的递推数列求通项的方法进行归纳总结，以希望对广大中学生朋友们突破这一难点提供一定的帮助。
关键词：数列;通项公式;方法;
一、观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
(1)9，99，999，9999，...
(2)1，1/2，1/4，1/8，...
解：(1)变形为：101- 1，102- 1，103- 1，104- 1，......
∴通项公式为：10n- 1
(2)变形为：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，......，
∴通项公式为：1/2n- 1
观察法就是要抓住各项的特点，与常见的数列形式相联系进行变形，探索出各项的变化规律，从而找出各项与项数n的关系，写出通项公式。
二、定义法
例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x- 1)2，且a1=f(d- 1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q- 1)，求数列{an}和{bn}的通项公式;
解：(1)∵a1=f(d- 1)=(d- 2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3- a1=d2-(d- 2)2=2d，
∴d=2，
∴an=a1+(n- 1)d=2(n- 1);
又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q- 1)=(q- 2)2，
由q∈R，且q≠1，得q=- 2，∴bn=b·qn- 1=4·(- 2)n-1 当已知数列为等差或等比数列时，只需求得首项及公差或公比，可直接利用等差或等比数列的通项公式的定义写出该数列的通项公式。
三、叠加法
例3：已知数列6，9，14，21，30，...求此数列的一个通项。
解：已知a2- a1=3，a3- a2=5，...，an- an- 1=2n- 1，...
各式相加得：an- a1=3+5+...+(2n- 1)=n2- 1
∴an=n2+5
对于可表述成为an- an- 1=f(n)的形式的数列，即可通过叠加的方法消去a2至an- 1项，从而利用的已知求出。
四、叠乘法
例4：设数列 {an}是首项为1的正项数列，且满足(n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式。
解：∵ (n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0，可分解为[(n+1)an+1- nan](an+1+an)=0
又∵ {an}是首项为1的正项数列，
∴an+1+an≠0，
∴ (n+1)an+1- nan=0，
由 此 得 出 ：a1=2a2，2a2=3a3，...，(n- 1)a(n-1)=nan，这n- 1个式子，将其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=1/n，∵n=1也成立，∴an=1/n(n∈N*)。
对于相邻的两项有确定的比例关系的递推式，可以通过叠乘法消去和，从而利用的已知求出此类数列的通项公式。
五、取倒数法
例5：已知数列{an}，a1=-1， n∈N*，求an =?
解：把原式变形得 an+1- an+1·an= an
两边同除以 anan+1得1/an=1/an+1 +1
∴{1/an} 是首项为 -1，d=-1 的等差数列
故an=-1/n
有些关于通项的递推关系式变形后含有 anan+1项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以 anan+1后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出 an。
六、利用公式 an=Sn-Sn-1(n ≥ 2) 求通项
例 6：已知各项均为正数的数列 {an} 的前 n 项和为 Sn满足 S1> 1 且 6Sn=(an+1)( an+2) n ∈ N*，求 {an}的通项公式。
解：由 a1=S1= 解得 a1=1 或 a1=2，
由已知a1=S1> 1，因此 a1=2
又由 an+1= Sn+1-Sn= 1/6 (an+1 +1)(an+1 +2)-1/6 (an +1)(an +2)得(an+1+an)( an-1-an-3) =0
∵ an> 0 ∴ an-1-an=3从而 {an} 是首项为 2，公差为 3 的等差数列，
故 {an} 的通项为 an=2+3(n-1)=3n-1。
有 些 数 列 给 出 {an} 的 前 n 项 和 Sn与 an的 关 系 式Sn=f(an)，利用该式写出 Sn+1=f(an+1)，两式做差，再利用 an+1=Sn+1-Sn导出 an+1与 an的递推式，从而求出 an。
七、构造等比数列法
例 7：已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=2an+1 (n ∈ N*)，求数列 {an} 的通项公式。
解：构造新数列 {an+p}，其中 p 为常数，使之成为公比是 an的系数 2 的等比数列，即 an+1+p =2(an+p) 整理得：an+1=2an+p， an+1= 2an+1 ∴ p=1 即 {an+1} 是首项为 a1+1=2，q=2 的等比数列∴ an+1=2·2n-1
∴an=2n-1。
原数列 {an} 既不等差，也不等比。若把 {an} 中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出 an。该法适用于递推式形如 an+1=ban+c 或 an+1= ban+f(n)an+1= 或an+1=ban+cn其中 b、c 为不相等的常数，f(n) 为一次式。
总之，数列是初等数学向高等数学过度的桥梁，而求数列的通项公式又是学好数列知识的关键，它具有很强的技巧性。但是由于同学们在刚刚接触数列知识时，对求数列的通项公式没有系统的方法，常常感觉无从下手，需要教师和学生共同努力，共同思考，不断的完善求数列通项公式的方法和技巧，开拓思维，创新学习，逐步树立学好数学的信心，提高自身的数学素养，并能融会贯通的运用到其他的知识学习中去。
参考文献：
[1]Cheng Baojuan .Fractional recursive progression item formula of the solution of [J].Education Forum，2012，(31)
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