构造直角三角形解题

时间：2022-10-26 07:15:04 学习方法我要投稿

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构造直角三角形解题

　　在解某些数学问题时，若能根据题意构造出直角三角形，则可利用直角三角形的性质，巧妙地将题目解出。下面举例说明。

　　1、求线段长

　　[例1]在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，AB=2，CD=1。求BC和AD的长。

　　解：延长AD、BC交于F，得Rt△ABF和Rt△CDF，且∠F=30°。

　　在Rt△ABF中，由AB=2，∠F=30°

　　得AF=2AB=4

同理可得CF=2，DF= ∴BC=BF-CF= ，AD=AF-DF=4- 。

　　2、求角的度数

[例2]如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=60°，D在AC的延长线上，AB= CD。求∠CBD。

　　解：作AE⊥BC于E，连DE，在Rt△ABE中

，BE=AE，在Rt△AEC中，所以。则AB= 而AB= ，故CE=CD ∠1=∠2= ∠ACB=30°

　　又∠EAC=30°，所以DE=AE=BE

所以∠CBD=∠3= ∠1=15°

　　3、证线段倍分

　　[例3]如图，∠B=90°，∠1=∠2=60°，∠C=45°，求证：CD+BD=AB。

　　证明：把△ABD绕AD翻转到△AB”D的位置，则B”D=BD，AB”=AB，∠B”=∠B=90o，∠2=∠3。

　　由∠1+∠2+∠3=180°，知C、D、B”三点共线，故△AB”C为等腰直角三角形，从而有：CD+B”D=AB”，∴CD+BD=AB。

　　4、证不等

　　[例4]如图，在△ABC中，BC>AC，AD、BE为高，

　　求证：BC+AD>AC+BE。

　　证明：由题意，在BC上取一点A”，使A”C=AC，作A”D”⊥AC于D”，A”F⊥BE于F，则四边形EFA”D”为矩形，得A”D”=FE

　　又有Rt△A”D”C≌Rt△ADC，于是A”D”=AD

　　∴BA”=BC-A”C=BC-AC

　　BF=BE-FE=BE-A”D”=BE-AD

　　在Rt△A”BF中，BA”>BF，即BC-AC>BE-AD

　　∴BC+AD>AC+BE.

　　5、解三角问题

　　[例5]求cot22.5°的值。

　　解：构造如图所示的Rt△ABC，则

cot22.5°=

　　6、解代数问题

[例6]若a>3，求证：。

　　证明：作出如图所示的Rt△ABC，由BD+AD>AB，得

∴

　　7、求最值

[例7]若m、n、p为正实数，且，求：的最小值。解：构造如图所示的直角三角形，易知CD≤AE，即 ∴ 故的最小值为 [例8]求的最小值。

　　解：构造如图所示的Rt△PAC，Rt△PBD，使AC=1，BD=2，PC=x，CD=4，且PC、PD在直线L上，则所求最小值转化为“在直线L上求一点P，使PA+PB的值最小”，取A点关于L的对称点A”，则有：

原式=PA+PB≥A”B 故的最小值是5。

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