充分利用三角形面积巧解题

时间：2022-10-26 07:14:35 学习方法我要投稿

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充分利用三角形面积巧解题

　　“补形法”是解几何题常用的重要方法之一。所谓“补形”，就是根据题目的条件和图形，经过观察、分析和联想，运用添加辅助线的方法，使之转化为熟悉的基本图形，从而可沟通条件和结论之间的联系，为解题开辟了新的途径和方法，达到了解题的目的。下面举例说明补形法的应用。

　　1、补成三角形

例1 如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5。求。

　　图1

　　解：延长AD、BC交于点E(如图1)，由条件可知

　　∠E=30°

所以，于是所以故例2 如图2，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，若∠BAC=60°，∠ACB=20°，∠DEC=80°，AC=1，求。

　　图2

　　解：延长AB到F，使AF=AC，连结FC，由∠BAC=60°，得

　　△ACF是等边三角形。

　　作∠BCF的平分线CG，交AF于G点，则

　　∠1=∠2=∠3=20°，

　　∠GBC=∠A+∠2=60°+20°=80°=∠DEC

所以又所以于是

　　2、补成平行四边形

　　例3 如图3，六边形ABCDEF的六个内角相等，且AB+BC=11，AF-CD=3，求BC+DE的值。

　　图3

　　分析：由六边形ABCDEF的六个内角相等，得六边形ABCDEF的内角都是120°。

　　延长FA、CB交于P点，延长CD、FE交于Q点，则四边形CQFP是平行四边形，△ABP、△DEQ是等边三角形。

　　于是有PA+AF=CD+DQ

所以又所以

　　又AB+BC=11

　　所以BC+DE=14

　　3、补成菱形

例4 如图4，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4。求。

　　图4

　　解：延长EA、CB交于F点。由∠A=∠B=120°易得△ABF是等边三角形，

　　所以四边形CDEF是菱形，

故

　　4、补成矩形

　　例5 八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，各边长度如图5所示，求八边形ABCDEFGH的周长。

　　图5

　　解：由八边形ABCDEFGH的八个内角相等，得其内角都是135°。

　　延长AB、DC交于M点，延长CD、FE交于N点，延长EF、HG交于P点，延长GH、BA交于Q点，则MNPQ是矩形，△BCM、△DEN、△FGP、△AHQ均为等腰直角三角形。

　　设AH=x，GH=y

　　由MQ=NP，MN=PQ，得

所以故八边形ABCDEFGH的周长。

　　5、补成正方形

例6 如图6，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，求。

　　图6

　　分析：由于∠BAC=45°，分别将△BAD、△CAD沿AB、AC向外翻折至△BAF、△CAE处，延长FB、EC交于G点，则四边形AEGF是正方形。

设AD=x，则在△BCG中，即解得或 (舍去) 所以

　　6、补成梯形

例7 如图7，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，，，CD=6，求AD。

　　图7

　　分析：由于∠ABC=135°，∠BCD=120°，故可过点A作AE垂直于CB的延长线于E，过点D作DF垂直于BC的延长线于F，则△ABE是等腰直角三角形，△CDF是含30°角的直角三角形，所以四边形ADFE是直角梯形。

　　过A作AM⊥DF于M，则

所以

　　7、补成正六边形

　　例8 六个半径为1的圆的位置如图8所示，求中间没被盖住的空白部分的面积。

　　图8

　　解：如图8，连结相邻两圆的圆心，得六边形ABCDEF是正六边形。

故

　　8、补成整圆

　　例9 如图9，半圆的O的直径在梯形ABCD的下底AB上，且与其余三边AD、DC、CB相切，若BC=2，AD=3，求AB的长。

　　图9

　　解：将半圆O补成整圆，作平行于AB的切线EF，交DA、CB的延长线于E、F，则

　　AB是梯形CDEF的中位线，

故

　　从以上分析可以看出，“补形法”在解有关几何题时，有它独特的魅力，可以使解答简单流畅，别具一格，使一些复杂的问题迎刃而解。开拓了学生的思路，提高了解题能力，对培养学生的兴趣也大有裨益。

　　练习：

　　1、六边形ABCDEF的六个内角都是120°，其连续四边的长分别是AB=3，BC=6，CD=5，DE=4，求六边形ABCDEF的周长和面积。

2、在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE⊥BD的延长线于E，。求证BD平分∠ABC。

　　3、四边形ABCD中，AB=AC=AD=a，CD=b，AD//BC，求对角线BD的长。

4、△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于E。求证。

　　5、在四边形ABCD中，∠BCD=∠CDA=120°，BC=5，CD=4，DA=6。求AB。

　　6、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为形内一点，BP=BA，∠ABP=30°，求证PA=PC。

　　答案：

1、补成等边三角形，29;

　　2、补成等腰三角形

3、补成等腰梯形，

　　4、补成等腰三角形

5、补成矩形，

　　6、补成正方形。

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