几何证明的特殊方法

时间：2022-10-26 07:13:21 学习方法我要投稿

几何证明的特殊方法

　　数学是“思维的体操”，几何更能训练学生的逻辑思维能力。几何证明题的思路广，方法多，要求学生的思维要灵活，而学生拿到一个较复杂的证明题，总感到无从下手，不会分析。现举例介绍解竞赛题中几种特殊的而又常用的证明方法。

几何证明的特殊方法

　　一、分解法

　　即把一个图形分解成几个简单的图形或分成具有某种特殊关系的图形，然后借助于分解后的图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。

　　例1. 如图1，ABCD是任意四边形，E、F将AB分成三等分，G、H将CD分成三等分。

　　求证：四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的三分之一。

　　分析：四边形问题我们常分割成三角形问题来解决。于是考虑连结AC、AH、HF、FC，由题意和“等底等高的三角形面积相等”知：

所以所以又所以故

　　二、特殊化法

　　即先考察命题的某些特殊情形，从特例中探索一般规律，或从特例中得到启发，从而解决一般问题的一种方法。

　　例2. 如图2，设P为∠AOB的平分线上一定点，以OP为弦作一圆，分别交OA、OB于C、D。

　　求证：OC与OD的和为定值。

分析：学生往往找不到定值是什么，若将“弦OP”特殊化为“直径OP”，则△OPC和△OPD是全等直角三角形，因而，OC=OD= ，于是判断OC与OD的和为定值。故过P作PE⊥OA，PF⊥OB，连PC、PD，可证△PCE≌△PDF，所以CE=DF，OE=OF。所以

　　即OC+OD为定值。

　　三、扩充法

　　即把图形扩充为另一个图形，借助于扩充后图形的性质来推导出所要证明的问题的一种方法。

　　例3. 如图3，已知AD为△ABC的边BC上的中线，O为AD一点，BO、CO与AC、AB分别交于E、F。

　　求证：EF∥BC

分析：要证两线平行，考虑到平行线的判定，而这里只有BD=DC，故考虑延长OD至G，使DG=OD，扩充得到平行四边形BGCO，则，OF∥BG ，所以，故EF∥BC。

　　四、类比转换法

　　即将所要论证的问题进行转换并与其类似的问题对比，从而得到启发，使问题得以解决的一种方法。

例4. 如图4，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=108°，AH⊥BC于H，∠DAC= 。求证：分析：这类问题常转换为：，而在直角三角形ADH和AEH中，和分别为∠DAH的余弦和∠AEH的正弦，由题意可计算知∠DAH=∠AEH=18°，联想到，该问题得证。

　　五、面积法

　　即利用面积定理，结合图形中的面积关系，找到与问题相关的数量关系，使问题得到解决的一种方法。

　　例5. 如图5，平行四边形ABCD中，E在AD上，F在AB上，且DF=BE，DF与BE交于G。

　　求证：CG平分∠BGD。

　　分析：证明角平分线有两种常用方法：这条射线分得的两个角相等或这条射线上一点到角两边的距离相等。

连CE、CF，作高CH、CP，此题图中有，而DF=BE，故高CP=CH，于是CG平分∠BGD。

　　六、代数法

　　即根据图形的有关性质布列方程、不等式或函数式等，再利用相关代数知识来解题的一种方法。

　　例6. 如图6，在凸四边形ABCD中，AB=2，P是AB边的中点，如果∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°，求证：四边形ABCD的面积的最小可能值是4。

分析：显然，四边形ABCD的面积的大小与AD、BC的大小有关。故令AD=x，BC=a，四边形ABCD的面积=y，DF⊥CB于F，由题意：AP=PB=1，BF=AD=x，DF=AB=2，。所以所以因x、y均为正实数，故由一元二次方程的根的判别式得

　　即四边形ABCD的面积的最小可能值是4。

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