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巧构图妙解题
对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折,而利用“图形”则会取得事半功倍的效果。请看:
例1. 已知a,b,c,d都是正数,并且 。求证: 证明:作 和 ,使斜边 , , (如图1)。图1
由 得: 又 所以 又 所以 即例2. A、B两地相距64千米,甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行,甲比乙先行40分钟,两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少?
解:如图2所示,AB表示A、B两地相距64千米,AC⊥AB
图2
设AC=x,表示甲的行驶速度,作BD⊥AB
设BD=x+4,表示乙的行驶速度,在AB上,取 ,表示甲在40分钟所行的路程, ⊥AB,且 =x,连结 与AB交于E,表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点,于是 由 ,得 解得: (舍去) 于是即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。
例3. 甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你才4岁。”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁。”请你算一算甲、乙现在的各自岁数。
图3
解:如图3,画两条直线分别表示甲、乙的年龄,设乙现在的年龄为x岁,从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时,乙为4岁;当乙为x岁时,甲为 岁;当乙为 岁时,甲为61岁。根据甲、乙的年龄差不变,可得
解得: 所以答:甲现在42岁,乙现在23岁。
例4. 设a,b,c都是正实数,求证: 证明: 时,显然成立。由于a,b的地位相同,不妨假设 ,这时要证的不等式转化为 。图4
作△ABC(如图4),CA=CB,CD为底边AB上的高,E为CD上的一点,使得 ,由勾股定理得: 又 在△CBE中, 即综上,命题得证。
例5. 设a,b,c,d均为正数,满足 ,且a为最大。求证: 。证明:不妨取线段 ,在AC上取一点B,使 ,则 ,以BC为直径作⊙O,如图5。图5
设 ,作割线(或切线) 交⊙O于E,作OF⊥AD,F为垂足。因为 即 因为 ,所以 又 在 中,AO>AF 所以即有【巧构图妙解题】相关文章:
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