数学方法论

时间：2022-10-01 01:56:10 学习方法我要投稿

数学方法论

　　数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就要求对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握，因此，数学研究工作者、数学教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。

数学方法论

　　数学方法论特征

　　对数学方法论的早期研究，十七世纪就已经开始了，法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼兹都曾做过这方面的探讨，并出版过专著，历史上不少著名的大数学家，如欧拉，高斯、庞加莱、希尔伯特等人也曾就数学方法论的问题发表过许多精辟的见解，但是，对数学方法论进行系统地研究，还是最近几十年间的事，在这方面做了突出的贡献，当首推美国数学家和数学教育家波利亚，最近几十年来.由于现代电子计算机技术已经进入了人工智能和摸拟思维的阶段，就更加促使数学方法论蓬勃发展起来;信息论，控制论、认知科学和人工智能的最新研究成果相继引进了数学方法论的领域。而徐利治先生正式提出"数学方法论"这一名称，并使其成为一门独立的学科，迄今仅二十来年。

　　数学科学和数学史料是数学方法论的源泉，同时，数学方法论还涉及到哲学、思维科学，心理学、一般科学方法论、系统科学等众多的领域。

　　数学方法论分为宏观数学方法论与微观数学方法论。

　　数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律，数学理论的构造，以及数学与其它科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史。研究宏观方法论的另一条主要途径是研究数学理论体系的构造。

　　数学微观方法论所研究的是一些比较具体数学方法，特别是数学发现和数学创造的方法。包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论等等。

　　数学方法论目录

　　第1讲数学方法论引论

　　1 研究数学方法论的意义和目的

　　2 宏观的方法论与微观的方法论

　　3 略论希尔伯特成功的社会因素

　　4 浅谈微观的数学方法论

　　第2讲略论数学模型方法

　　1 数学模型的意义

　　2 数学模型的类别及简单例子

　　3 MM的构造过程及特点

　　4 怎样培训构造MM的能力

　　第3讲关系映射反演原则的应用

　　1 何谓“关系映射反演原则”?

　　2 数学中的RMI原则

　　3 若干较简单的例子

　　4 几个较难一点的例子

　　5 用RMI原则分析“不可能性命题”

　　6 关于RMI原则的补充说明

　　第4讲略论数学分理化方法

　　1 公理化方法的意义和作用

　　2 公理化方法发展简史

　　3 公理化方法的基本内容

　　4 重要例子——几何学公理化方法

　　5 关于公理系统的相容性问题

　　6 略谈自然科学中的公理化方法

　　第5讲关于数学的结构主义

　　1 结构主义学派的形成过程

　　2 布巴基学派的一般观点

　　3 数学结构的分类

　　4 数直线结构分析

　　5 略变拓扑结构

　　6 略谈同构概念

　　7 略评结构主义

　　第6讲代数方程根式解法与伽罗瓦的群论思想方法

　　1 代数基本定理与根式解法研究简史

　　2 拉格朗日的思想方法与阿贝尔定理

　　3 伽罗瓦的思想方法

　　4 方程式可解性理论简介

　　第7讲关于非标准数域与非康托型自然数模型的构造方法

　　1 略论“无限”概念蕴含的矛盾

　　2 非标准数域的构造方法

　　3 非康托型自然数序列模型的构造法

　　4 关于一个引伸的芝诺悖论的解释

　　5 略论无限的两种形态

　　第8讲悖论与数学基础问题

　　1 悖论的定义和起源

　　2 悖论的举例和数学三次危机

　　3 策莫洛对悖论的解决方案

　　4 罗素对悖论的解决方案

　　5 塔斯基及其语义学

　　6 哥德尔的不完备性定理与悖论

　　7 悖论的成因与研究悖论的重要意义

　　第9讲论数学基础诸流派及其无究观

　　1 数学系统的相对相容性证明与诸流派形成的历史近因

　　2 逻辑主义派的观点和方法

　　3 直觉主义派的观点和方法

　　……

　　第10讲略论数学发明创造的心智过程

　　附录Ⅰ 数学轴象度概念与抽象度分析法

　　附录Ⅱ “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题

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