数学充分必要条件的判断技巧

时间：2022-08-26 08:58:16 学习技巧我要投稿

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数学充分必要条件的判断技巧

　　对于必要条件和充分条件的判断，许多学生感到困难。左侧推出右侧，左侧为充分条件，右侧为必要条件。下面是一个典型的例子来说明判断充要条件的一般方法，供大家参考。

数学充分必要条件的判断技巧

　　数学充分必要条件的判断技巧1

　　一、借助于“推出方向”理解充分条件与必要条件。

　　若pq,则下列说法等价:p是q的充分条件,q是p的必要条件。若pq,则称p与q互为充要条件,或p的充要条件是q,或q的充要条件是p。

　　例1、若A、B都是C的充要条件,D是A的必要条件,B是D的必要条件,则D是C的()

　　A充分不必要条件B必要不充分条件

　　C充要条件D既不充分也不必要条件

　　解:可用“推出方向”解。

　　由已知:AC,BC,AD,DB,可以推出D与C的关系:由DB,BC,得DC;由CA,AD,可得:CD。

　　∴CD,即D是C的充要条件。

　　二、借助子集的概念理解充分条件与必要条件。

　　若将命题p、q看成集合,当pq时,p是q的充分条件,q是p的必要条件。这里可以用“小范围推出大范围”帮助记忆。

　　例2、(1)若p:x>1,q:x≥5,则p是q的条件。

　　(2)若p:(x-1)(x-2)=0,q:x=2,则q是p的条件。

　　解:从集合角度考虑:(1)中有qp;(2)中有pq。根据“小范围推出大范围”知:(1)的p是q的必要但不充分条件;(2)中的q是p的充分但不必要条件。

　　三、借助原命题与其逆否命题为等价命题理解充分条件与必要条件。

　　例3、若p:x≠1,若y≠2,q:x+y≠3,则p是q的条件。

　　解:考虑其逆否命题:q:x+y=3,p:x=1且y=2,显然有:pq。

　　∴qp。即p是q的必要但不充分条件。

　　总之,A能推出B，说明A是B的充分条件，同时B是A的必要条件;B能推出A，说明B是A的充分条件，同时A是B的必要条件;A能推出B，同时B也能推出A，说明A是B的充分必要条件(简称充要条件)同时，B也是A的充要条件。只要同学们能够熟练运用以上办法进行充要关系的判断,必定能收到良好的效果。

　　数学充分必要条件的判断技巧【2】

　　判断充分与必要条件的方法

　　一、定义法

　　可以简单的记为箭头所指为必要，箭尾所指为充分。在解答此类题目时，利用定义直接推导，一定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义。

　　例1 已知p:-2

　　分析条件p确定了m，n的范围，结论q则明确了方程的根的特点，且m，n作为系数，因此理应联想到根与系数的关系，然后再进一步化简。

　　解设x1，x2是方程x2+mx+n=0的两个小于1的正根，即0

　　而对于满足条件p的m=-1，n=，方程x2-x+=0并无实根，所以pq.

　　综上，可知p是q的必要但不充分条件。

　　点评解决条件判断问题时，务必分清谁是条件，谁是结论，然后既要尝试由条件能否推出结论，也要尝试由结论能否推出条件，这样才能明确做出充分性与必要性的判断。

　　二、集合法

　　如果将命题p，q分别看作两个集合A与B，用集合意识解释条件，则有：①若A?哿B，则x∈A是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件;②若A?芴B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件;③若A=B，则x∈A和x∈B互为充要条件;④若A?芫B且A?芸B，则x∈A和x∈B互为既不充分也不必要条件。

　　例2 设x，y∈R，则x2+y2<;2是|x|+|y|≤的条件，是|x|+|y|<;2的条件。

　　A. 充要条件 B. 既非充分也非必要条件

　　C. 必要不充分条件?摇D. 充分不必要条件

　　解如右图所示，平面区域P={(x，y)|x2+y2<;2}表示圆内部分(不含边界);平面区域Q={(x，y)||x|+|y|≤}表示小正方形内部分(含边界);平面区域M={(x，y)||x|+|y|<;2}表示大正方形内部分(不含边界)。

　　由于(，0)?埸P，但(，0)∈Q，则P?芸Q.又P?芫Q，于是x2+y2<;2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要条件，故选B.

　　同理P?芴M，于是x2+y2<;2是|x|+|y|<;2的充分不必要条件，故选D.

　　点评由数想形，以形辅数，这种解法正是数形结合思想在解题中的有力体现。数形结合不仅能够拓宽我们的解题思路，而且也能够提高我们的解题能力。

　　三、逆否法

　　利用互为逆否命题的.等价关系，应用“正难则反”的数学思想，将判断“p?圯q”转化为判断“非q?圯非p”的真假。

　　例3 (1)判断p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么条件;

　　(2) 判断p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么条件。

　　解 (1)原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么条件。

　　显然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要条件。

　　(2) 原命题等价于判断非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么条件。

　　因为非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分条件。

　　点评当命题含有否定词时，可考虑通过逆否命题等价转化判断。

　　四、筛选法

　　用特殊值、举反例进行验证，做出判断，从而简化解题过程。这种方法尤其适合于解选择题。

　　例4 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是

　　A. 0

　　解利用特殊值验证：当a=0时，x=-，排除A，D;当a=1时，x=-1，排除B.因此选C.

　　点评作为选择题，利用筛选法避免了复杂的逻辑推理过程，使解题方法更加优化，节省了时间，提高了解题的速度，因此同学们应该注意解题方法的选择使用。

　　五、传递法

　　充分条件与必要条件具有传递性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn 。同样，充要条件也有传递性。对于比较复杂的具有一定连锁关系的条件，两个条件间关系的判断也可用传递法来加以处理。

　　例5 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的

　　A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

　　C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

　　解由题意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那么可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要条件，故选A.

　　点评对于两个以上的较复杂的连锁式条件，利用传递性结合符号“?圯”与“”，画出它们之间的关系结构图进行判断，可以直观快捷地处理问题，使问题得以简单化。

　　1. 求三个方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根的充要条件。

　　1. 三个方程均无实根的充要条件是

　　Δ1=16a2-4(-4a+3)<;0，Δ2=(a-1)2-4a2<;0，Δ3=4a2-4(-2a)<;0.

　　数学充分必要条件的判断技巧2

　　请检查以下问题：1、借助“晋升方向”了解必要和充分的条件。

　　如果是PQ，则下列语句等价：P是Q的充分条件，Q是P的必要条件；如果PQ，则P和Q是相互充要条件，或P的充要条件是Q，或Q的充要条件是P.

　　例1、如果a和B都是C的充要条件，D是a的必要条件，B是D的必要条件，那么D是a（）

　　C的充要条件，B是C的充要条件a

　　C的充要条件D既不充分也不必要

　　解：解可以通过“推动方向”获得。

　　从已知的AC，BC，ad，DB，我们可以推导出D和C之间的关系：从DB，BC，DC；从Ca，ad可以得到CD。

　　//CD，即D，是C.

　　2的一个充要条件。借助子集的概念，我们理解了C.

　　2的充要条件。

　　如果把命题P和Q看作集合，当PQ，P是Q的充分条件，Q是P的必要条件，这里可以用“小范围推大范围”来帮助记忆。

　　例2、（1）如果P:x1，Q:X≥5，那么P是Q.

　　（2）如果P:（X-1）（X-2）=0，Q:X=2，那么Q是P.

　　解的条件：从集合的角度来看：（1）有QP in；（2）有PQ in。根据“小范围推大范围”的思想，我们知道：（1）P of是Q的一个必要条件，但不是充分条件；（2）qin是P的一个充要条件。3、借助于原命题及其逆否定命题，我们可以理解其充要条件。

　　如果P:X≠1，如果y≠2，Q:X+y≠3，则P是Q.

　　解的条件：考虑其逆无命题：Q:X+y=3，P:X=1，y=2，显然存在：PQ。

　　∴qp，即P是Q的一个必要条件，但不是充分条件。

　　简言之，a可以推导出B，即a是B的`充分条件，B是a的必要条件；B可以推导出a，说明B是a的充分条件，a是B的必要条件；a可以推导出B，B也可以推导出a，表示a是B的充要条件（简称充要条件），B也是a的充要条件，只要学生能熟练地运用上述方法来判断充要关系，就能收到很好的效果。

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