一阶微分方程的应用

一阶微分方程的应用

　　一阶微分方程的应用【1】

　　摘 要：微分方程在实际中应用广泛。简单介绍了一阶微分方程的几种应用。

　　关键词：微分方程;应用;研究

　　微分方程是与微积分一起形成并发展起来的重要的数学分支，它已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力的工具.一阶微分方程是我院学生必修的内容，为了激发学生们学习的兴趣，让他们觉得学有所用，下面将介绍一阶微分方程在实际中的几种简单应用.

　　一、在力学中的运用

　　动力学是微分方程最早期的源泉之一.动力学的基本定律是牛顿第二定律F=ma，这也是微分方程来解决动力学的基本关系式.上式的右端含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键在于找到合外力F和位移及其对时间的导数――速度的关系.在求解这些问题时，要特别注意问题中的定解条件，如初始条件等.

　　例1.物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用.在速度不太大的情况下(低于音速的■)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试求出在这种情况下，落体存在的极限速度v1.

　　解：设物体质量为m，空气阻力系数为k.又设在时刻t物体的下落速度为v，于是在时刻t物体所受到的合外力为

　　F=mg-kv2

　　由牛顿第二定律列出微分方程

　　m■=mg-kv2

　　因为是自由落体运动，所以有v(0)=0.

　　求解上述微分方程的特解即得：

　　v=■

　　当t→+∞时，有

　　v1=■=■.

　　据测定，k=aρs，其中a为与物体形状有关的常数;ρ为介质的密度;s为物体在地面上的投影面积.

　　人们正是根据上述公式，为跳伞者设计保证安全的降落伞的直径大小，在落地速度v1，m，a，ρ一定时，就可定出s来.

　　二、流体混合问题

　　中学数学中有这样一类问题：某容器中装有浓度为c1的含某种物质A的液体V升.从其中取出V1升后，加入浓度为c2的液体V2升，要求混合后的液体以及物质A的含量.这类问题用初等代数就可以解决.

　　但是在生产中还经常遇到如下的问题：容器内装有含物质A的流体.设时刻t=0时，流体体积为V0，物质A的质量为x0(浓度显然已知).现在以速度v2(单位时间的流量)放出流体，而同时又以速度v1注入浓度为c1的流体.试求时刻t时容器中物质A的质量及流体的浓度.

　　这类问题称为流体混合问题，它是不能用初等数学解决的，必须利用微分方程来计算.

　　我们利用微元法来列方程.设在时刻t，容器内物质A的质量为x=x(t)，浓度为c2.经过时间dt后，容器内物质A的质量增加了dx.于是有

　　dx=c1v1dt-c2v2dt=(c1v1-c2v2)dt.

　　因为c2=■，

　　代入上式有

　　dx=(c1v1-■)dt，

　　或■=-■x+c1v1.

　　这是一个线性方程.于是求物质A在时刻t时的质量问题就归结为求上述方程满足初始条件x(0)=x0的特解问题.

　　例2.某厂房容积为45×15×6m3，经测定，空气中含有0.2%的CO2.开动通风设备，以360m3/s的速度输入含有0.05%的CO2的新鲜空气，同时排出同等数量的室内空气.问30分钟后室内所含CO2的百分比.

　　解：设在时刻t，车间内CO2的百分比为x(t)%.经过时间dt后，室内CO2的改变量为45×15×6×dx%=360×0.05%×dt-360×x%×dt.

　　于是有4050dx=360(0.05-x)dt，

　　即dx=■(0.05-x)dt，

　　初始条件为x(0)=0.2.

　　将方程分离变量并积分，初值解满足

　　■■=■■dt，

　　求出x有x=0.05+0.15e-■t.

　　t=30分钟=1800秒代入得x=0.05.

　　即开动通风设备30分钟后，室内CO2的含量接近0.05%，基本上已是新鲜空气了.

　　三、牛顿冷却定律的应用

　　牛顿冷却定律：把温度为T的物体放入处于常温T0的介质中，T的变化速率正比于物体的瞬时温度与周围介质温度T0之差.

　　设物体的温度为T(t)，于是可列微分方程

　　■=-k(T-T0)，k>0.

　　例3.某小镇发生凶杀案，法医于下午6点到达现场，测得此时尸体的温度为34度，1小时后又测得尸体的温度为32度.假设室温为常温21度，警方经过反复排查，圈定了两名犯罪嫌疑人张某和李某，但二人均辩称自己无罪，并陈述了各自当日下午的活动情况：张某称，他下午一直在办公室，5点下班后离开;李某称，下午一直上班，4点30分左右接到电话后离开.二人所说均被证实，从二人上班地点到案发现场只需要10分钟，试分析两人能否都排除嫌疑?

　　解：设尸体在t时刻的温度为T(t)，由牛顿冷却定律可得定解问题

　　■=-k(T-21)T(0)=34T(1)=32，

　　解得T(t)=21+13e-0.167t.

　　设死者死亡时为正常体温37度，即T=37，由上式求出死亡时间

　　t=■・ln■≈-1.25小时.

　　由此推断出，死者的死亡时间为6：00-1：15=4：45，即下午4：45左右，因此李某有作案时间不能排除嫌疑，张某无作案时间.

　　四、医学中的应用

　　例4.有一种医疗手段，是把示踪染色体注射到胰脏里去检查其功能，正常胰脏每分钟吸收染色的40%.现有一内科医生给某人胰脏注射了0.3克染色，30分钟后还剩下0.1克，试问此人的胰脏是否正常.

　　解：正常情况下，设S(t)表示注射染色体后t分钟时人胰脏中的染色量，则每分钟吸收的染色为■=-0.4S，本题可知S(0)=0.3，故得到定解问题

　　■=-0.4SS(0)=0.3，

　　通过分离变量法，解得S(t)=0.3e-0.4t，则30分钟后剩余的染色量为

　　S(30)=0.3-0.4×30≈0，

　　而实际此人剩余0.1克，由此可知，此人的胰脏不正常，应该接受治疗.

　　参考文献：

　　[1]东北师范大数学系.常微分方程.高等教育出版社，2001，3.

　　[2]姜启源，叶金星.数学模型.高等教育出版社，2004，12.

　　[3]刘增玉.高等数学.天津科学技术出版社，2009，6.

　　一阶高次微分方程的求解【2】

　　【摘 要】本文通过讨论一阶二次微分方程和一阶三次微分方程的解法的相关问题，来归纳讨论一阶高次微分方程的求解，并给出相关的例子进行说明。主要是一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有一些解法，但由于某些方法的局限性，对于某些方程不合适，所以探讨一阶二次微分方程与一阶三次微分方程有必要。

　　本文给出了一阶二次微分方程与一阶三次微分方程的主要定理，主要是根据方程在极坐标变换下的求解定理，提供了求解这两种微分方程的另一种解法跟途径，并且也能更好地了解一阶高次微分方程的求解。

　　【关键词】一阶二次微分方程 一阶三次微分方程 极坐标的变换 求解

　　一 引言

　　微分方程是常微分方程和偏微分方程的总称。数学上把联系着自变量、未知函数以及它的导数(或微分)的关系式叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时产生的，但它的形成和发展与力学、天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关。

　　常微分方程的概念、解法以及相关理论很多。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，不过求出解的情况不多，在实际应用中多求满足某种指定条件的特解。

　　常微分方程在很多领域内有着重要的作用，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机、导弹飞行的稳定的研究、化学方程过程的稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

　　五 总结

　　一阶高次微分方程的解法有很多，在这里我们给出两种求一阶高次微分方程的方法，针对不同的方程可以应用不同的方法，这样解这类方程更为简便些，也能进一步对高阶微分方程有所认识。

　　我们在开始给出了求一阶二次微分方程和一阶三次微分方程在极坐标下的求解方法，通过给出它们的定义、求解方法以及对例题的分析，能对一阶高次微分方程进行拓展和研究，通过特殊的求解方法后，我们又给出求一阶高次微分方程的一般方法，这样能使一阶高次微分方程的解法通俗易懂。

　　参考文献

　　[1]刘许成.一阶二次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].赣南师范学院学报，2002(6)：11～12

　　[2]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换的求解定理[J].安阳师范学院学报，2003(3)：6～8

　　[3]刘许成.一阶三次微分方程在极坐标变换下的求解定理及应用[J].阜阳师范学院学报(自然科学报)，2002(4)：54～56

　　[4]王高雄、周之铭、朱思铭等.常微分方程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，1984：51～56

　　[5]东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2001：56～66

　　一阶微分方程的积分因子【3】

　　摘要：积分因子法是解一阶常微分方程有效的方法，本文通过查阅相关文献，对一阶常微分方程存在各种形式的积分因子的充要条件做了小结，并将这些理论推广到一些简单的积分因子形式。

　　关键词：微分方程积分因子 充要条件

　　求解一阶常微分方程有常数变易法，积分因子法，积分变换法，幂级数法。由于后两种方法运用起来比较复杂，大多数教材对后面两种方法仅有简单的介绍。常数变易法从给定方程对应的齐次方程得到通解从而得到原方程的解，思想巧妙，运用简便，但就其原理理解起来觉得突兀。而积分因子法从微分方程基本原理出发，从给定方程本身就可以得到微分方程的解。

　　一：基本知识

　　1、全微分方程

　　求解一阶微分方程

　　其中 是单连通区域内 的连续函数，且具有连续的一阶偏导数。若存在某个二元连续可微函数 ，使得方程 的左端为 的全微分，则称方程 为全微分方程。

　　定理1称微分方程 为全微分方程当且仅当方程满足条件 。

　　此时存在二元连续可微函数 ，使得 ，方程通解为 。

　　2、积分因子

　　当 ，在该区域寻找一个可微的非零函数 使得方程 为全微分方程，即 ，则称 为方程 的积分因子。

　　二、积分因子的性质及形式

　　定理2方程 的积分因子存在，且不唯一。设 为方程 的积分因子，则对任何可微函数 ，函数 也是方程 的积分因子。

　　证明： 是方程 的积分因子，所以，

　　定理3 为方程 的积分因子充要条件为 。

　　证明： 为方程 的积分因子，即满足条件 ，展开即得 。

　　定理4方程 具有形如 积分因子充要条件是，

　　其中 仅是 的函数，且

　　证明：由定理3知方程 具有形如 积分因子充要条件是，

　　即 ，

　　记 ，则 ，即 (其中 ，取 ，即得公式 )

　　三:讨论几种特殊类型的积分因子存在的充要条件

　　结论1一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件

　　注：1、当 仅与 相关，即当 ， 时，由定理4知充要条件是 。当 仅与 相关时同理可得相应结论。

　　2、当积分因子形如 时的充要条件

　　结论3一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件

　　注：当 时，则 。

　　结论4一阶微分方程 具有形如 的积分因子的充要条件

　　注：形为 的积分因子充要条件是

　　结论5 一阶微分方程 具有一种乘积形式积分因子 存在的充要条件是 + ，其中 ， 。

　　注：形如 的积分因子的充要条件是

　　结语

　　积分因子法是求解一阶线性微分方程的重要方法，应用上没有局限性，解题目的明确，而且建立在已学的数学知识之上。本文在给出积分因子法的一般结论之后，针对一些特殊类型的积分因子形式存在的充要条件进行概括，并将这些理论应用推广到一些常见的积分因子形式，对积分因子法做了有效的归纳总结，对初学者将有很大帮助。

　　参考文献

　　[1]丁同仁,李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 高等教育出版社. 2004

　　[2]韩祥林,陈星海. 一类积分因子的存在条件及应用[J]. 高等数学研究. 2012(05)

　　[3]徐彬. 一阶微分方程具有一种乘积形式积分因子的求解[J]. 黄冈师范学院学报. 2009(06)

　　[4]李荣江. 一阶对称形非恰当方程的分组积分因子法[J]. 数理医药杂志. 2009

　　[5]汤光荣,易其国. 对常微分方程积分因子问题的推广[J]. 抚州师专学报. 2000(12)

　　[6]高正晖. 一阶微分方程三类积分因子的计算[J]. 衡阳师范学院学报(自然科学).2002(06)

　　[7]王善维. 关于一阶微分方程的积分因子问题[J]. 河北轻化工学院学报. 1997(06)

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