微分方程应用举例

时间：2022-10-05 22:53:52 数学毕业论文我要投稿

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微分方程应用举例

　　微分方程应用举例【1】

　　摘要：通过举例给出了微分方程在实际中的应用，从而使学生易于理解和掌握微分方程概念及理论。

　　关键词：微分方程应用

　　微分方程指的是，联系着自变量，未知函数及它的导数的关系式子。

　　微分方程是高等数学的重要内容之一，是一门与实际联系较密切的一个内容。

　　在自然科学和技术科学领域中，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。

　　在实际教学过程中应注重实际应用例子或应用背景，使学生对所学微分方程内容有具体地，形象地认识，从而激发他们强大的学习兴趣。

　　1 应用问题举例

　　1.1 生态系统中的弱肉强食问题

　　在这里考虑两个种群的系统，一种以另一种为食，比如鲨鱼(捕食者)与食用鱼(被捕食者)，这种系统称为“被食者—捕食者”系统。

　　Volterra提出：记食用鱼数量为，鲨鱼数量为，因为大海的资源很丰富，可以认为如果，则将以自然生长率增长，即。

　　但是鲨鱼以食用鱼为食，致使食用鱼的增长率降低，设降低程度与鲨鱼数量成正比，于是相对增长率为。

　　常数，反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。

　　如果没有食用鱼，鲨鱼无法生存，设鲨鱼的自然死亡率为，则。

　　食用鱼为鲨鱼提供了食物，致使鲨鱼死亡率降低，即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。

　　设增长率与食用鱼的数量成正比，于是鲨鱼的相对增长率为。

　　常数>0，反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。

　　所以最终建立的模型为：

　　这就是一个非线性的微分方程。

　　1.2 雪球融化问题

　　有一个雪球，假设它是一个半径为r的球体，融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比，比例常数为>0，则可建立如下模型：

　　1.3 冷却(加热)问题

　　牛顿冷却定律具体表述是，物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。

　　记T 为物体的温度，为周围环境的温度，则物体温度随时

　　2 结语

　　文中通过举生态系统中弱肉强食问题，雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。

　　在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子，能引起学生对微分方程的学习兴趣，能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论，达到事半功倍之效。

　　参考文献

　　[1] 王嘉谋，石林.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2012.

　　[2] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].2版.北京：科学出版社，2000.

　　[3] 齐欢.数学建模方法[M].武汉：华中理工大学出版社，1996.

　　微分方程在数学建模中的应用【2】

　　【摘要】微分方程是现代数学的一个重要分支，是研究函数变化规律的有力工具，它在科技、教育、经济管理、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用。

　　在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。

　　本文主要从交通红绿灯模型和市场价格模型来论述微分方程在数学建模中的应用。

　　【关键词】微分方程;数学建模;交通红绿灯模型;市场价格调整模型

　　数学建模是数学方法解决各种实际问题的桥梁，随着计算机技术的快速发展，数学的应用日益广泛，数学建模的作用越来越重要，而且已经应用到各个领域。

　　用微分方程解决实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程。

　　这首先要根据实际问题所提供的条件，选择确定模型的变量，再根据有关学科，如物理、化学、生物、经济等学科理论，找到这些变量遵循的规律，用微分方程的形式将其表示出来。

　　一、交通红绿灯模型

　　在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。

　　这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适?

　　停车线的确定，要确定停车线位置应当考虑到两点：一是驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。

　　二是驾驶员刹车后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。

　　驾驶员的反应时间(实际为平均反应时间) 较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求(在考驾照时都必须经过测试)。

　　例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，(反应时间的长短并不影响到计算方法)。

　　停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。

　　设汽车质量为m，刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t时刻内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为fmg(g为重力加速度)。

　　由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程：

　　md2xdt2=-fmg

　　x(0)=0， dxdtt=0=v0

　　(1)

　　在方程(1)两边同除以并积分一次，并注意到当t=0时dxdt=V0，得到

　　dxdt=-fgt+v0

　　(2)

　　刹车时间t2可这样求得，当t=t2时，dxdt=0，故

　　t2=v0fg

　　将(2)再积分一次，得

　　x(t)=-12fgt2+v0t

　　将t2=v0fg代入，即可求得停车距离为

　　x(t2)=1v202fg

　　据此可知，停车线到路口的距离应为：

　　L=v0t1+12v20fg

　　等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。

　　黄灯时间的计算，现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。

　　在黄灯转为红灯的这段时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口，记街道的宽度为D(D很容易测得)，平均车身长度为，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应当为：

　　T=L+D+lv0

　　二、市场价格调整模型

　　对于纯粹的市场经济来说，商品市场价格取决于市场供需之间的关系，市场价格能促使商品的供给与需求相等这样的价格称为(静态)均衡价格。

　　也就是说，如果不考虑商品价格形成的动态过程，那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡，但是，实际的市场价格不会恰好等于均衡价格，而且价格也不会是静态的，应是随时间不断变化的动态过程。

　　如果设某商品在时刻t的售价为P，社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数D(P)，S(P)，则在时刻t的价格p(t)对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量D(P)-S(P)成正比，即有微分方程

　　dPdt=k[D(P)-S(P)] (k>0)

　　(3)

　　在D(P)和S(P)确定情况下，可解出价格与t的函数关系，这就是商品的价格调整模型。

　　某种商品的价格变化主要服从市场供求关系。

　　一般情况下，商品供给量是价格的单调递增函数，商品需求量Q是价格P的单调递减函数，为简单起见，分别设该商品的供给函数与需求函数分别为

　　S(P)=a+bP，Q(p)=α-βP

　　(4)

　　其中a，d，α，β均为常数，且b>0，β>0。

　　当供给量与需求量相等时，由(4)可得供求平衡时的价格

　　Pe=α-aβ+b

　　并称Pe为均衡价格。

　　一般地说，当某种商品供不应求，即SQ时，该商品价格要落。

　　因此，假设t时刻的价格P(t)的变化率与超额需求量Q-S成正比，于是有方程

　　dPdt=k[Q(P)-S(P)]

　　其中k>0，用来反映价格的调整速度。

　　将(4)代入方程，可得

　　dPdt=λ(pe-P)

　　(5)

　　其中常数λ=(b+β)k>0，方程(5)的通解为

　　P(t)=Pe+Ce-λt

　　假设初始价格P(0)=P0，代入上式，得C=P0-Pe，于是上述价格调整模型的解为

　　P(t)=Pe+(P0-Pe)eλt

　　由于λ>0知，t→+∞时，P(t)→Pe。

　　说明随着时间不断推延，实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe。

　　这符合我们实际生活中具体事实。

　　微分方程模型及其应用【3】

　　摘要：微分方程模型应用于解决实际问题有非常大的研究空间，本文重点讨论了微分方程的原理，微分方程思想对于解决现实问题的启示以及现实生活中利用微分方程模型解决具体问题的案例，旨在进行微分方程理论学习之余提出自己的一些思考。

　　关键词：微分方程;模型;应用

　　对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个(偏)微分方程或方程组。

　　所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。

　　一、微分方程数学原理解析

　　在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。

　　要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。

　　这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。

　　微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学科理论中理论联系实际的一个重要分支。

　　随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成为解决实际问题不可或缺的方法与工具。

　　而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来描述(表述、模拟)所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

　　二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结

　　在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

　　微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

　　一般用于求解微分方程的方法或形式有三种，分别是求解析解、求数值解(近似解)和定性理论方法。

　　而建立微分方程模型的方法通常也有三种，其一是利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型;其二是利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律;其三是在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

　　在建立数学微分方程的流程上，我们通常第一步是对具体实际问题进行分析，找出问题中的变化量和变量关系，接着进行模型假设，将实际问题的元素用数学概念代替，然后进行符号设定，简化计算，从而建立模型，进行求解，最后用求解的结果对之前的问题分析和模型假设进行验证，验证合理后进行模型的应用和评估。

　　三、微分方程模型应用领域归纳和具体案例分析

　　从应用领域上讲，微分方程大方向上的应用领域主要分社会及市场经济、战争微分模型分析、人口与动物世界、疾病的传染与诊断和自然科学这五个方面，如果细致来讲，其中社会及市场经济方面又包括综合国力的微分方程模型、诱发投资与加速发展的微分方程模型、经济调整的微分方程模型、广告的微分方程模型、价格的微分方程模型;战争微分模型包括军备竞赛的微分方程模型、战争的微分方程模型、战斗中生存可能性的微分方程模型、战争的预测与评估模型。

　　人口与动物世界领域包括单种群模型及进行开发的单种群模型、弱肉强食模型、两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型、无管理的鱼类捕捞模型、人口预测与控制模型;疾病传染与诊断领域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病诊断的微分方程模型、人体内碘的微分方程模型、药物在体内的分布与排除模型;自然科学领域包括人造卫星运动的微分方程模型、航空航天器翻滚控制的微分方程模型、非线性振动的微分方程模型、PLC电路自激振荡的微分方程模型和盯梢与追击问题的微分方程模型等。

　　尽管从上述微分方程应用领域的罗列和总结上，我们会觉得比较复杂，其实所有微分方程建模问题的流程都是严格按照问题分析、模型假设、符号设定、建立模型、模型求解和验证模型这一流程进行的，下面就结合一个案例来具体分析：

　　比如弱肉强食微分方程模型。

　　生活在同一环境中的各类生物之间，进行着残酷的生存竞争。

　　设想一海岛，居住着狐狸与野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之丰富，兔子们无无食之忧，于是大量繁殖;兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐狸数量增加吃掉大量兔子，狐群又进入饥饿状态而使其总数下降，这时兔子相对安全，于是兔子总数回升。

　　就这样，狐兔数目交替地增减，无休止的循环，遂形成生态的动态平衡。

　　那么，如何用建立数学模型描述并预测下一阶段情况呢?在这个问题上，某一时刻兔子数量和狐狸数量就存在变量关系：

　　其中ax表示兔子的繁殖速度与现存兔子数成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度;-cy表示狐狸因同类争食造成的死亡速度与狐狸总数成正比;dxy表示狐兔相遇，对狐狸有好处而使狐狸繁殖增加的速度。

　　四、结语

　　微分方程模型的应用让很多现实中难以具体计算的问题迎刃而解，通过对事物发展规律的掌控进行科学建模，是数学应用于生活的发展趋势，作为广大在校进行数学专业学习的同学来说，掌握好专业基本功，是将来就业工作，实现自身价值的重要途径。

　　参考文献：

　　[1]肖静宇. 几类分数阶微分方程的数值方法研究[D].哈尔滨工业大学，2013.

　　[2]付树军. 图像处理中几何驱动的变分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大学，2008.

　　[3]李艳霞. 基于变分偏微分方程的图像分解研究与应用[D].中国海洋大学，2009.

　　[4]刘桂荣. 时滞微分方程的周期正解及其在种群模型中的应用[D].山西大学，2007.

【微分方程应用举例】相关文章：

简述计算机数学软件在常微分方程中的应用10-06