数学中的逻辑趣味

数学中的逻辑趣味

　　本文试从探究数学中的逻辑趣味入手，通过日常学到的与数学有关的逻辑趣味题来探析数学中的逻辑趣味。

　　数学中的逻辑趣味【1】

　　摘要：数学学科和逻辑学科联系非常紧密，数学学科也正是因为有了逻辑思维的助力而变得充满了趣味，本文从探究数学中的逻辑趣味入手，从在数学题目中动用逻辑思维、阐释数学公式中的逻辑趣味、在数学学法中体会逻辑趣味三方面探寻数学中蕴含的逻辑及由此产生的逻辑趣味。

　　关键词：数学逻辑 趣味公式

　　在高中阶段，数学学习已经有了很大的难度，由于我们日常学的高中数学，很多知识都不能在现实中用到，在做数学习题的时候，由于题目的过于单一，使学习数学的趣味逐渐丧失，为了找回数学中的学习乐趣，本文试从探究数学中的逻辑趣味入手，通过日常学到的与数学有关的逻辑趣味题来探析数学中的逻辑趣味。

　　一、在数学题目中动用逻辑思维

　　所谓的逻辑其实就是一种思维形式，在数学中，有很多题目的设定都是与逻辑有关的，尤其是一些奥林匹克数学题，更是从日常的情境类题目入手，通过有故事性题目，用数学的解题手段，不知不觉把逻辑趣味融入其中，比如囚犯活命的经典例题：

　　孙膑，庞涓都是鬼谷子的徒弟;一天鬼出了这道题目：他从2到99中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞。

　　庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。

　　孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。

　　庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

　　问这两个数字是什么?为什么?

　　这道题目就属于逻辑类数学题的一种，他很容易把做�}的人带入一种情境中，让做题人不知不觉的想为题目中的主人公想出解决问题的方法。

　　对于这道题目的分析，光有充足的数学知识是远远不够的，他还需要我们动用逻辑思维，对所有的可能性进行对比分析，以此找出解决问题的最好方法。

　　比如在一般的算术题中，我们往往不用排列出所有可能的答案进行筛选，而在逻辑题中有时候就要求我们必须分清哪些答案是可行的，哪些答案是不可行的，然后分门别类，通过排列对比得出结论。

　　再如在逻辑题中，文字性的东西比较多，也要求我们要把文字语言通过逻辑思考换成数学用语，通过数学语言对题目进行阐释和解读，如这道题，孙膑和庞涓的对话表面上看没有什么，但实际上仔细分析其实就是数学语言的另一种表述方法，本着不怕麻烦的精神和能把文字语言转换成数学语言的罗辑思维能力，这道题通过逻辑分析可以得出如下结论：

　　首先把这两个数设为X和Y，那么两者的和就是X+Y，两者的积是X*Y，如果庞涓说他不知道孙膑的数是什么，根据两个质数的乘积一定不是质数，两个质数的和一定是合数的原则，那么X+Y就只能是2-99中的质数，那么再看X*Y，如果和是11能得到的乘积是18，24，28，30，;和是17能得到的乘积是30，42，52，60，66，70，72以此类推，就可以推理得出可能数值的大致选项，把这些可能的数字列出来以后，根据孙膑和庞涓又说他们都猜到是什么数字了，那么由此来看所得的乘积和和必须都是唯一的，由此在符合条件的数里层层筛选，那么通过刨除X*Y中的一些重复数，最后就能得出只能当和为17积为52的时候才可以，那么就不难算出X和Y分别是4和13。

　　二、数学公式中的逻辑趣味

　　数学公式一直以来都是学习数学的关键，其实仔细观察不难发现，数学中的公式也是含有某种逻辑关系的，此外，逻辑中的某些思维也可以应用在数学公式的推导中，很多数学公式正是有了逻辑推导的过程，才变得充满趣味。

　　此外，因为知识的连续性，很多数学知识都不是独立存在的，例如在学习圆柱体之前，首先要对圆形相关的公式作以了解，在研究立体几何点线面之间的关系时，也时常需要探寻其中每一个点面的内在联系，通过画辅助线，使原本看起来毫无联系的立体图形的每一面具有了某种形式上的关联，进而找出解题中的正确思路。

　　所以说，通过数学公式和相关算法的推导，同样可以找出数学中的逻辑趣味，从而在对数学逻辑的探索中提升数学的学习兴趣。

　　三、在数学学法中体会逻辑趣味

　　数学学习需要各种思维的通力合作，其中逻辑思维必不可少，首先，数学讲究的是对数字的归纳和推导，把错综复杂的数学题目进行合理分析，条分缕析的总结出数学的算法，逻辑的学习也是如此，逻辑思维告诉我们，任何事情，不仅要知其然，更要知其所以然，通过思考探究事物的来龙去脉，而数学学习要求也是如此，必须把所学知识进行有机整合，合理运用所致所学，才能真正学好数学。

　　综上，本文对数学中的逻辑趣味进行了研究分析，其实，数学中除了逻辑趣味之外，还有很多乐趣，解数学题的过程其实也是探索的过程，通过对一个又一个未知世界的了解，让我们能在数学思维的探究中，体悟出更多的奥密，通过对数学兴趣的培养，促进数学学习能力全方位的提升。

　　参考文献：

　　[1]费劲男.用发现的眼睛探究高中数学中的逻辑趣味[J].数学教学通讯，2015，(10).

　　[2]潘竹英.中职数学趣味性教学开展刍议[J].现代教育科学，2015，(02).

　　[3]胡荣.数学教学要重视趣味性[J].科学咨询，2015.

　　用发现的眼睛探究高中数学中的逻辑趣味【2】

　　摘 要：在高中数学教学当中，逻辑思维的教学逐渐成为教师突出强调的内容.

　　这是高中数学的重点，更是转变学生思维的难点.

　　本文将高中数学逻辑分解为五个方面分别进行阐述，希望能够为广大教师数学逻辑教学的创新有所帮助.

　　关键词：高中数学;逻辑教学;创新

　　在笔者与很多高中数学教师交流教学心得的过程中，听到教师反映最多的问题就是：很多学生对数学没有学习兴趣，学习过程十分被动.

　　的确，数学学习进入到高中阶段之后，表面上的趣味性较之从前确实大大降低了.

　　如果说，小学与初中阶段的数学学习侧重于单纯知识点的学习，高中数学所关注更多的则是数学逻辑思维的培养.

　　想要将外化的知识能力转化为内化的思想方法，并不是一件容易的事，需要教师尽可能地引导学生发现高中数学学习当中的逻辑趣味.

　　探究数形结合逻辑趣味

　　有人说，数学的生命，一半在于数字，另一半则在于图形.

　　笔者十分赞同这一点，它也很好地揭示出了数形结合的逻辑方式对于高中数学学习而言的重要意义.

　　很多学生认为，既然数学学习内容可以清楚地划分为代数与几何，那么，在每种内容的学习过程中，只要专注掌握好相应的解题方法即可，这是数学学习之中的一个误区.

　　二者兼而有之，综合运用，才能够实现最为理想的解题效果.

　　例如，在学习过函数的单调性与奇偶性知识之后，笔者向学生呈现了这样一道习题，来体现数形结合逻辑的实用性与趣味性：已知，函数f(x)为(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且在(0，+∞)上呈单调递增.

　　又有f(1)=0，请求出不等式fxx-<0的解集.

　　仅仅利用代数的逻辑考虑，并无法有效地利用到题目中所给出的奇函数与单调递增等已知条件.

　　于是，笔者带领学生根据已知条件作出f(x)的函数图象(如图1).

　　由图象便可以明显地看出，f(x)的值在(-1，0)∪(1，+∞)上大于0，而在(-∞，-1)∪(0，1)上小于0.

　　接下来再对这一变形进行讨论，　　通过这样的训练，学生切身体会到了数形结合在高中数学学习当中的重要作用.

　　一方面，数字的表达能够让图形所要呈现的内容更为清晰，借助图形又能够使得抽象的数字所包含的含义具体形象，二者相辅相成，实现数学思想表达的清晰化.

　　另一方面，数形结合的逻辑为很多数学问题的解答提供了新途径与新思路，大大简化了解题过程，提高了高中数学的学习效率.

　　[?] 探究等价转化逻辑趣味

　　等价转化也是高中数学学习过程中不可或缺的一种逻辑方法.

　　等价转化逻辑具有两个层面的含义.

　　从宏观层面来讲，等价转化逻辑可以应用于新知识的学习与接受过程当中.

　　当学生面对一个崭新的数学知识时，可以努力寻找其与既有知识之间的联系，从而将其等价转化为熟悉的思想方法，使得自己可以更加轻松地接受新知识.

　　从具体层面上来讲，等价转化逻辑还可以应用于具体数学问题的解答过程当中.

　　将复杂抽象的表达式等内容等价转化为易于分析与表示的形式进行求解，能够大大简化思维过程和运算步骤.

　　例如，在立体几何学习过程中，出现了这样一道习题：已知在三棱锥A-MNP当中，三条侧棱AM，AN，AP呈两两垂直的位置关系，且AM长为5，AN长为4，AP长为3.

　　点B为棱MN的中点，C为MP的中点，那么，四棱锥A-NPCB的体积是多少?这道题的提问方式，乍看起来比较陌生，学生不知如何处理.

　　但是，只要发现三棱锥之间的等体积转化方法，并且通过已知条件把握住S△MBC=S△MNP的数量关系，答案的得出便轻而易举了.

　　等价转化的逻辑为学生的数学学习思维开启了一扇大门.

　　在这种方法的辅助之下，学生发现，原来数学知识并没有从前认为的那样复杂.

　　通过等价转化，学生成功地以旧知识带动新知识，简化了学习理解过程.

　　也是通过等价转化，有效优化了解题过程，降低了出错概率.

　　这种多方向的难度降低，让学生对于高中数学学习重新燃起了信心.

　　[?] 探究符号语言逻辑趣味

　　符号是数学学科的一个代表性标志.

　　随着高中数学知识内容的不断丰富，学生们所接触到的数学符号也越来越多，除了仅仅表示一个独立含义的数学符号以外，很多连贯性语言甚至都可以通过符号进行表达，成为数学当中一种重要的语言表达形式.

　　符号语言的熟练掌握，不仅是学生数学文化内涵的明确展现，更是高中数学教学当中的重要要求.

　　教师必须在课堂教学与课后作业环节中，对于学生的符号语言逻辑培养引起足够重视.

　　例如，在函数的最值问题练习当中有这样一道习题：试求函数u=+的最值.

　　笔者观察到，很多学生的解题过程相当冗长，甚至还加入了很多文字描述，使得整个答题看起来既杂乱无章又不够专业.

　　于是，笔者向学生展示了一种比较理想的解题过程：设x=，y=，则u=x+y，且x2+2y2=16(0≤x≤4，0≤y≤2)，所给函数即可化为以u为参数的直线方程y=-x+u，其与椭圆x2+2y2=16在第一象限当中具有公共点，则umin=2.

　　当其在第一象限相切时，u取最大值.

　　y=-x+u，

　　x2+2y2=16?3x2-4ux+2u2-16=0，解Δ=0，得u=±2，取u=2，所以umax=2.

　　整个过程以符号语言为主，却能够清晰表达含义.

　　很多学生在数学学习过程当中，将全部注意力都放在了解题思路的开辟上，却忽略了对于符号语言的关注.

　　再周密的思维方式，若进行表达时，没有一个准确的符号语言予以保障，则不仅使得这份解答丧失了数学研究应有的专业性，从答题规范上来讲也是不合格的.

　　因此，对于符号语言逻辑的训练，数学教师必须常抓不懈，每每新出现一个数学符号，就要高强度地锻炼学生进行准确使用，让符号语言成为学生的数学表达习惯.

　　长此以往，学生也会渐渐发现数学符号语言的魅力.

　　[?] 探究分类讨论逻辑趣味

　　分类讨论是在高中数学分析探究过程当中广泛使用的一种逻辑思维方式.

　　实际上，学生在很多概念的学习和习题的解答过程中，已经多次运用过分类讨论的思想了，只是缺少一个明确的点拨和系统的总结，使得学生没有意识到分类讨论逻辑的存在与应用途径.

　　教师需要做的就是及时点破分类讨论逻辑的存在，并且通过系统总结，为学生在具体数学问题的解决当中有意识地加入分类讨论逻辑思维奠定基础.

　　例如，在二次函数的学习过程中，曾出现过这样一道习题：已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在-，2上能够取得最大值1，试求出a的值.

　　这道题看似难度不大，很多学生却在第一步便出现了错误，即忽略了分类讨论.

　　是否应当将这个问题化为求二次函数最值来处理，首先要做的就是针对a是否为0展开讨论.

　　只有当我们令a=0，发现f(x)在已知区间上无法取得最大值1时，才能够继续讨论二次函数的最值.

　　分类讨论的逻辑虽然不难，却无处不在.

　　经过教师的引导，学生对于这种逻辑思维的理解更加深刻了.

　　在面对数学问题时，能够有条理地整理思路，在适当的时机引入分类讨论，使得自己的思考过程与解题过程更加明确，面对复杂数学问题的难度也便随之降低.

　　[?] 探究函数与方程逻辑趣味

　　在大多数学生眼中，函数与方程指的是高中数学当中的一个重点学习内容.

　　其实，这也同时是解决数学问题过程当中的一个重要的逻辑思维形式.

　　教师首先要扭转学生所固有的限制性认识，开阔学生视野，使其认识到，要站在一个更高的角度看待函数与方程，并且使之成为能够适用于多种形式问题解决的逻辑方法.

　　另外，很多学生总是认为，函数与方程的内容抽象复杂，对其总是充满了畏惧与回避.

　　所以，为了能够扩大函数与方程的适用范围，教师还应当巧妙选取一些有特点、能激趣的利用函数与方程逻辑解答的数学问题，引起学生对函数与方程逻辑的兴趣.

　　例如，在一次测验当中，很多学生在一道应用题上犯了难：某商店中有一件商品，当其进货价为8元，售价为10元时，每天的销售量是100个.

　　当其售价变为11元时，每天的销售量是90个.

　　请问，当该商品的出售价为多少时，能够实现利益最大化?这道题目看似较为开放，实际上，只要通过函数与方程的眼光来看待，它便成为一个函数求最值的问题.

　　我们可以从10元出发，假设每次涨价1元，将涨价x元时的销售量表示出来，则不难得出商品利润y关于x的函数方程y=(2+x)(100-10x).

　　经过化简，很容易便可以得出，当x=4时，y能够取得最大值360，也就是说，当该商品的售价为14元时，能够实现利润最大化.

　　由此可见，函数与方程所指的并不仅仅是这部分知识内容本身，其更加重要的意义在于其在多种数学问题解答过程中的应用.

　　只要深刻理解并且灵活掌握函数与方程思想，学生便会发现，这种逻辑形式能够适用于多种形式的问题当中.

　　想要让学生对于高中数学思维逻辑的学习建立产生兴趣，首先要使得这部分知识在学生头脑中由混沌变得明晰.

　　因此，笔者在实际教学中，将看似密不可分的数学思维逻辑整体条理化，分别从数形结合、等价转化、符号语言、分类讨论和函数与方程等五个角度进行探究，让学生对于这些数学逻辑产生兴趣，从而轻松高效地建立起相应的高中数学思维逻辑体系.

　　这对于学生数学学习能力的升华与未来数学学习思路的转变，都是意义重大的.

　　数学教学中的趣味数学【3】

　　兴趣是学生积极探求知识的一种好奇的心理现象。

　　如果说"拥有知识是一种快乐，那么好奇心则是产生这种快乐的源泉"。

　　所以兴趣在学生学习的活动中上起到定向、维护、强调的作用。

　　有了兴趣，学生的注意力才能够集中;有了兴趣，学生的学习劲头才能持久;有了兴趣，学生的创新意识才能奋发。

　　可见兴趣是促进学生主动学习的强大动力和内在力量。

　　对于富于逻辑性又含抽象性的数学来说，尤其要运用趣味数学的手段来激发学生的学习兴趣。

　　那么在数学教学课堂上如何进行趣味教学呢?

　　1 以故事激"趣"

　　一个趣味横生的故事最能敲击学生的心扉，牵动学生的情弦，引发学生的兴趣，特别在讲课之前。

　　俗话说，良好的开端是等于成功的一半。

　　在优化数学的课堂教学，老师必须从讲课一开始就要使学生在认识上、情感和意志上高度注意，对本节课产生深厚的兴趣。

　　为此，老师在导入新课时，既要简洁明了，又要新鲜、深刻、有趣。

　　如，在讲授几何第一册的"两点之间线段最短"时，教师首先举了这么一个例子：一条狗，见到它的主人时，会箭一般地直奔向他。

　　为什么?也许有人说，它通人性。

　　而我却认为，这条狗懂得了一个数学道理，且应用了这个数学道理。

　　连狗也懂得的数学道理，作为人的我们还有理由不懂得吗?这个数学道理是什么呢?这就是我们这节课所要学习的一个重要内容。

　　这样一个开场白，简直象磁铁一样吸引住了学生。

　　于是每个学生都进入了积极猜想的角色。

　　这样就创设了一个最佳的学习氛围，为学习新知识做好了充分的准备。

　　又如，学习反证法时，教师向同学们讲了这样一个故事：相传古时一贤臣被奸臣所害，判了死刑，皇帝因其曾为朝廷立过大功，采用了用命运来最后判决的方法：用两张小纸片，一张写个"活"字，一张写个"死"字，处决前由他来抽，抽到"活"字便可赦免。

　　可是奸臣歹毒无比，竟作了手脚，使两张纸片上写的都是个"死"字。

　　幸亏贤臣的朋友知道了此事并及时告知，贤臣稍加思索便高兴的说"我有救了!"当抽纸片时，只见他抽出一张纸片，谁也不让看，便吞下肚去。

　　监斩官只好看剩下的纸片是什么字，无疑是个"死"字。

　　于是这位贤臣被赦免了。

　　为什么他能死里逃生?这就是反证法思维方法的生动应用。

　　学生听后，精神振奋，兴趣勃勃，求知欲望倍增，个个跃跃欲试，巴不得把反证法学个一丝不漏。

　　2 以动激"趣"

　　这里讲的"动"，指的是动手操作。

　　苏联著名教育家赞柯夫说"实际操作能力是学生发展的主要因素"。

　　在教学中，通过动手操作可以激发学生的好奇心理和调动学生学习的积极性，可以使学生的有意注意和无意注意交替进行，能提供较充分的感性知识作为抽象思维的依据，从而降低学生学习数学知识的难度，加深学生对所学知识的理解和记忆。

　　如，讲到轴对称图形的第二课时，教师首先让每个学生准备好一个等腰三角形，然后要求同学们把等腰三角形折成两个完全重合的图形。

　　同学们马上专心致志地动手操作起来，经过多次尝试，绝大部分学生都达到了要求。

　　接着提问：折痕是原等腰三角形的什么线?同学们摊开图形，观察折痕，然后胸有成竹地作了回答：有的说是中线，有的说是高，还有的说是角平分线……对于这些答案，教师并不急于肯定，再问了个"为什么?"不能说明理由的，师生都可以帮助解释。

　　最后师生一致总结出：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线(或顶角的角平分线所在的直线)。

　　又如，在上"三角形的内角和定理"时，教师同样要求学生每人准备好一个长方形的纸片。

　　学生都知道长方形的四个角都是直角，所以长方形的内角和为360°。

　　上课时，教师吩咐学生将长方形纸片沿对角线剪开。

　　于是大家发现得到两个完全一样的三角形，所以学生很容易得出结论："三角形的内角和等于180°"，然后教师再深入引导学生学习课本上较抽象的证明方法。

　　总之，在课堂上，只要尽量让学生动手操作，真正的动起来，积极参与到教学中去，整节课就既兴趣盎然，高潮迭起，又轻松愉快，效果颇丰。

　　学生对所学的知识自然就留下了深刻的印象。

　　3 以语言激"趣"

　　语言，这里指的是教师的口头语言的表达，它是教师进行教学的重要手段，是学生感知、获取知识的重要途径。

　　所以，提高教师在课堂上语言的艺术性和趣味性，从而利用语言的魅力来进行教学，就很有必要。

　　特别是对某些具有规律性的知识，如果教师能用准确生动的语言进行总结，甚至使用口诀教学，都会极大地激发学生学习的兴趣，从而把这些规律性的知识牢牢地刻在脑子里。

　　如，在讲： a =a(a≥0)

　　-a(a<0)时，为了加深学生的记忆，把a≥0比喻为一位身体健康的人，在寒冷的冬天，从温暖的房子里，可以直接走出来;把a<0比喻为一位身体虚弱的人，在寒冷的冬天，从来温暖的房子里走出来时，以防感冒，给加上一条毛巾(即前面加上负号)。

　　这种形象生动的比喻，不仅令学生耳目一新，而且入心入脑地记住了去掉绝对值符号的方法。

　　又如，在讲解简化符号时，对于两个符号，可记住这样的口诀：正正为正，负负为正，正负为负，负正为负。

　　或简称为：同号为正，异号为负。

　　同学们都情不自禁地跟着念叨。

　　当然还可以进一步揭示，不论有多少正负号，都可遵循："正号都不要，偶数个负号为正，奇数个负号为负"这一规律。

　　象这种简明扼要、顺口有趣的口诀教学，学生确实非常感兴趣，可以说是乐不可支。

　　如此这般，学生掌握知识的程度也就达到了意想不到的效果。

　　4 以电教激趣

　　在传统的数学教学中，教师所借助的教学工具只不过是粉笔、圆规、三角板、量角器而已。

　　这样的数学教学未免单调无趣，也与我们所处的社会日新月异，信息化发展突飞猛进的形势相互矛盾。

　　新课标下的数学应该是充满生机、充满活力，是最有吸引力的"磁性"课堂。

　　而大量的电化教学实践已经证明，运用电教手段可以使教学内容更加形象、具体、直观，便于学生理解和接受，从而有效地调动学生的积极性。

　　其中，鲜明生动的幻灯图像和电脑动画图像极大地激发着学生的兴趣，学生常常被它们深深地吸引。

　　例如，在教学"火车过桥"这一应用题时，教师运用投影仪生动形象地演示了火车行驶的路线，学生们满怀兴趣地从投影中清楚地看到了火车通过大桥行驶的路程就是桥长与车长的和，从而不多费口舌便轻易地解决了这个难题。

　　此外，在课堂教学中教师恰当地运用举反例，组织学生进行抢答竞赛，做一些与数学有关的小游戏，鼓励学生大胆发言，提出一些讨论性的问题，让学生各抒己见，畅所欲言;把课堂移向校园，指导学生运用数学知识丈量校园面积，计算教学楼的高度等等方法使学生有机会展示自我，挑战自我，完善自我，打破那些单一的思维定势，提升分析问题、解决问题的能力。

　　毫无疑问，这些都可以令学生觉得兴味无穷，大大激发了学生的学习兴趣，提高了学生的自学能力和创新能力。

　　实践证明，在数学课堂教学中，只要精心设计出一套激趣方法，并坚持运用趣味教学这一手段，就能很好地调动学生的积极性，充分发挥学生的主体作用，对不断提高学生的逻辑思维能力和促进学生创新能力的形成，有着事半功倍的效果。

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