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微分概念教学课堂设计
微分概念教学课堂设计论文范文，可以作为参考哦。
微分概念教学课堂设计【1】
摘要：通过创设实例情境，引发学生学习兴趣;通过反例教学，加深学生对概念的理解;运用启发式教学，通过类比和化归，建立导数与微分之间的关系;通过精讲多练，巩固学生所学知识。
关键词：微分;概念;教学
微分概念是教学的重点，更是难点。
以前在教学中，这一块知识的传授一直是令人头疼的地方，感觉已经尽了很大的努力，学生还是不能理解，即使表面会了，可以到应用还是不行，而且所学知识很快又忘了。
这说明他们最开始还是没掌握好，没理解透，概念没有真正建立起来。
笔者重新对微分概念进行了教学设计后，取得了较好的效果。
1新课引入
一般的课堂导入是这样的：在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量x有微小变化时，求函数y=f(x)的微小改变量Δy=f(x+Δx)-f(x)。
这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了。
然而，对于较复杂的函数f(x)，差值f(x+Δx)-f(x)却是一个更复杂的表达式，不易求出其值。
一个想法是：设法将Δy表示成Δx的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。
可是这种导入，学生往往不感兴趣，难以进入状态。
既然微分是实现增量线性化的一种数学模型，即微分函数的实质：局部像条直线。
那么怎么让学生直观地感受到这一点呢?
我先是提问学生：地球是什么形状的?学生都感到好笑：地球当然是圆的。
这时我又提出个问题：那么古时候的人们为什么以为地球是个大平面?学生七嘴八舌地说：那时科学不发达，在他们眼睛看到的范围内，地球看起来就是个大平面。
这时候我觉得时机到了，就跟学生说，其实曲线的增量很小(或相对很小时)，例如在人眼所能看到的范围内，这个距离增量相对于地球而言是非常小的，此时曲线可以近似的看作切线，这就是微分的几何本质，所以古时候的人们单凭自己的肉眼就犯了错误。
通过实例来引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，加强学生的感性认识，提高学生的学习兴趣。
2新课讲授
2.1微分的定义
(1)概念引入。
在这部分教学中，适当地寻找或者构造一些反例，能更好地理解概念本身的内涵和外延。
可以举一个微分不存在的例子加深学生对定义的理解。
2.2函数可微的条件
微分定义较为抽象，为了深刻理解其含义，我提出几个问题让学生思考并回答：(1)什么样的函数是可微的?(2)什么是函数的微分?(3)A和什么有关呢?
让学生观察引例，学生很快就发现了“秘密”：A=f′(x0)。
这时，要适时地将导数与微分概念联系起来对比和分析：(1)若函数可微，那么函数是否可导?(2)若函数可导，那么函数是否可微?通过这两个问题的解答结果，从而得到函数可微的充分必要条件以及函数的微分公式。
进而得到微分公式：dy=f′(x)dx，上式变形为dydx=f′(x)。
即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商，因此，导数又称为“微商”。
在这部分教学中，把导数作为“微商”重新理解了一下复合函数求导的链式法则和反函数求导法则。
为了加深学生印象，我讲了一个笑话：说有一个学生抄袭别人的作业，但后来却自以为聪明地把dydx中的d约掉了。
2.3微分的几何意义
以前的这块教学中，我只是简单地介绍dy所在位置和大小，而没有从图形和数值上突出局部线性化含义。
现在借助多媒体进行图形演示，用flash把图像放大，通过不断的移动x的位置，让学生观察曲线和切线关系。
学生通过自己的观察得出：x离x0的距离越小，曲线越可近似地看作一条直线，同时也解决了我们在引入新课时所提出的问题。
2.4基本初等函数的微分公式与微分运算法则
牢牢抓住微分和导数关系dy=f′(x)dx，进行对比教学即可。
2.5微分形式不变性
无论u是自变量还是复合函数的中间变量，函数y=f(u)的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有dy=f′(u)du这一性质称为微分形式的不变性。
利用这一特性，可以简化微分的有关运算。
但微分形式不变性是教学的难点，教师可以总结一句话让学生牢记：“函数对哪个变量求导就乘以哪个变量的微分”。
2.6利用微分进行近似计算
利用微分作近似计算，有利于培养学生灵活运用微积分知识的基础内容，也使部分达不到较高教学要求的、数学基础较弱的学生，对基础性内容有所了解，不至于什么都学不到。
3例题选讲
3.1微分的定义内容选讲了两道例题
例1. 求函数y=x2当x由1改变到1.01的微分。
例2. 求函数y=x3在x=2处的微分。
3.2基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用内容选讲了两道例题
例3. 求函数y=x3e2x的微分。
例4. 求函数y=sinxx的微分。
3.3微分形式的不变性内容选讲了二道例题
例5. 在d()=cosωtdt;的括号中填入适当的函数，使等式成立。
3.4微分近似计算和线性化内容选讲了三道例题
例6. 求f(x)=1+x在x=0与x=3处的线性化。
注：通过这道题使学生进一步明确不同点的近似直线不同。
例7. 半径10厘米的金属圆片加热后，半径伸长了005厘米，问面积近似增大了多少?
例8. 计算e-0.03的近似值。
有些例题由学生独立完成后，再由教师做点评。
例题设置由易到难，具有层次性，便于学生解题能力的提升。
通过例题可以检测学生对知识的掌握情况，找到差距，更进一步巩固和深化新知，让学生知道数学重在应用，培养学生运用所学知识解决问题的能力，有利于学生养成良好的思考习惯。
4归纳总结、分层作业
引导学生回顾本节课学到概念、方法、定理和公式，锻炼学生的归纳概括能力，有利于学生理清思路，从整体上把握内容，抓住要点。
布置的作业分巩固题、思考题和提高题三种类型，以适用不同层次学生的需要，从而分类推进，促进学生的共同发展，同时也要考虑到为学习下节课的内容做好铺垫。
参考文献
[1]吴赣昌.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2011.
[2]李令斗，高等数学中微分概念的说课[J].教育教学论坛，2012，(07).
偏微分方程课堂实践教学应用【2】
摘要：加强理论与实践的融合，特别是在偏微分方程数值解课程教学中，通过引入实践教学，突出高等数学的应用性，使之能够与具体的学科生产实际相联系，既有助于提升学生对偏微分方程的理解，还能够从科研、工程应用前沿中来增强学习兴趣，提升高等数学在实践生活中的应用能力。
关键词：偏微分方程;实践性教学;应用探讨
数学知识是丰富的、数学思想是多彩的，数学中蕴含着丰富的数学思想方法，数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学解题的指导思想。
而对于数学概念的实践性教学，将数学知识与现实世界建立关联，是推进大学生数学应用实践的有效途径。
数学作为自然科学，其理论的产生是基于数学自身理论系统的发展。
如数学建模思想的应用实践，将数学理论知识与具体的行业科学建立紧密联系，突出数学建模在学科专业性和应用广泛性中的作用，以解决现实问题。
偏微分方程是高等数学中的重要内容，在课程教学中具有较强的实际应用前景。
现代自然科学领域中的很多工程实践问题，其解决方法都由数学建模来进行描述，而偏微分方程的求解方法则具有广泛的应用。
本文则是通过对偏微分方程的一些阐述来讲解偏微分方程在课堂实践中的教学应用.
一、高等数学实践性教学的现状
强调理论与实践的渗透一直是高等数学课堂实践性教学的主要方向，由于教学环境的局限，对于课程实践性内容的梳理多存在制约，尤其是理论讲解过多，而实践教学相对不足，导致学生对高等数学的论证感到繁琐而枯燥。
偏微分方程数值解由于涉及较多的公式推导，学生学习积极性不够，而对于理工类学科专业，偏微分方程在实践应用中具有普遍性。
因此，要从实践性教学环节入手，积极探索该课程与生产实践的关联度，加强对偏微分方程与实际应用的衔接，特别是实验教学环节的明确，要从学科前沿发展上，融入实际案例和问题，增强学生的学习兴趣，引导学生从数学推导中提升计算能力，增强科学思维能力，解决实际问题能力。
二、实践性教学的必要性研究
从国家对高等教育改革工作的发展纲要来看，坚持教育与现代社会生产的联系，特别是从人才培养模式上，着力从教学方法上来深化改革，强调知行合一，因地制宜的调整和优化课程实践教学环节，突出学科理论学习与实践课程的融合，增强学生的实践技能。
理工类专业群在高等数学教学目标上，要结合自身专业设置实际，从数学基础知识与学科专业方向上，既要关注数学基础知识的讲授，还要从学生数学思维、计算思维、计算方法等方面，强调数学知识与工程应用的联系，特别是实践性教学环节，要注重对各种数值方法的求解，训练学生能够从具体方法求解中来培养动手能力。
偏微分方程具有较强的理论性，对于理论知识的讲授，特别是稳定性分析、收敛性分析、误差估值分析等，涉及较多的公式推导，学生学习积极性差，通过对实践性教学环节的设置，使之具有形象性、直观性和动态性，提升学生解决数学实际问题的能力。
三、偏微分方程与实践性教学的应用探讨
1.注重偏微分方程与实际应用的衔接
从课程内容来看，偏微分方程在与生产实践联系上具有广泛性，但对于具体的数值求解方法来说，因介绍较少，而学生对知识背景认知不够。
如对于线性常系数偏微分方程，在探讨其稳定性方面，由于，利用差商法来替换微商法，其中心格式的稳定性仍然不够。
但可以将之改写为中心差分格式，由此来得到Lax-Friedrichs稳定性数值方程;从中可知，利用，可以实现偏微分方程的数值求解稳定性，同时对于双曲型方程也具有较高的计算准确性，便于将偏微分方程数学理论与生产实践相联系。
同样道理，在共轭方程求解中，对于，在实际生产中应用较广，作为二阶共轭方程，将表示为温度函数，表示为热传导系数，可以对热传导方程进行改写。
从上述推导变换中，尽管数学公式本身没有变化，但与物理问题相融合后，其意义更加广泛。
我们知道，从热传导过程来看，对于传导系数来说本身具有连续性，利用函数来表示更加准确，从热传导守恒性来看，以离散值求解方法来计算结果，与实际问题存在不符，但通过进行离散处理，可以获得。
从中可知，学生在认识偏微分方程的求解疑难时，借助于对实际生产的背景介绍，从中来理解数学理论知识在实践中的应用，增强学生的学习热情，也提升了学生运用数学方法解决实际问题的能力。
2.强调实验教学的课时比重
在高等数学学习中，由于计算机的应用，可以利用偏微分方程来构建数学模型，增强偏微分方程在生产实践中的应用。
从数学理论来看，偏微分方程本身实践性强，而在实验课程教学中的课时比例相对不足，特别是学生上机学习较少，影响学生对偏微分方程数值求解方法的掌握。
以信息技术专业为例，在偏微分方程数值计算训练上，可以从Fortran95数值教学平台上来开放应用程序，结合不同的边界条件和初值，让学生从具体算法上来进行上机调试，分析存在的问题，并从实验报告分析中来强调知识的实践性。
借助于数学软件教学，其目标在于：一是提升数学理论知识的可视性，特别是对于偏微分方程自身公式的推导来说，因繁琐而影响学生的学习热情，而直观的数值计算软件的应用，提升计算结果的直观性。
二是从偏微分方程数值求解方法的多样性来看，既可以从差分方法中来选择不同的边界条件和初值，还可以从不同的初值和边界条件中来选择差分方法，不同的运算结果具有相应的规律性。
如对于扩散方程，与之相关的边界条件主要有、、。
对于该式中的不同变量的取值问题，可以从显格式、隐格式及其他格式上来进行运算，比较其结果，学生可以从中来探讨和分析偏微分扩散方程的收敛性、稳定性，以及截断误差变化;同时，可以根据调整不同变量的范围，如步长等，来对比差分格式中的误差控制;对于Richardson格式，虽精度高但实用性不强，不同格式的稳定性分析是其应用的基本前提。
三是从学生动手实践中来增强解决实际问题的能力。
由于偏微分方程在数值求解上面临较多的实际问题，特别是在实践性环节设置中，针对常见的步长问题、网格点问题，以及不同求解方法的误差等问题，需要在教师的指导下来进行综合对比和分析，提升数学模型对生产实践的影响。
另外，从不同方法的求解合理性分析上，利用检验方法来促进学生数学思维的养成。
3.强调数学理论与科研前沿问题的融合
从偏微分方程数值求解教学内容来看，仅仅介绍相关的数值求解方法是不够的，还要从偏微分方程自身的理论价值，来阐释与生产实践的融合，特别是现代技术背景下，对于数学理论、数学思想、数学方法的研究，需要从科研前沿探讨中，比较不同解决方法的差异性和适用性。
对于生产实践中的不同问题，教师在课程知识选择及具体方法的探讨中，要适当渗透前沿课题及主流方法，围绕学生学科实际，收集相关科研素材和资料，让学生能够从中体验到数学知识在解决实际问题中的价值，增强学生的科研精神、数学思维。
教师在构建实践性教学课堂时，可以从数学模型的抽象与分析中，介入数学软件来构建实际问题，通过对偏微分方程不同求解方法的对比分析，来探讨其解决实际问题的能力。
如对于有限元法的讲解，与实际生产相联系，来分析该方法的优势，并渗透Matlab软件，来构建具体的应用环境，增强学生对数学理论与生产实际的融合。
四、结语
与传统大学数学教育相比，利用实践性课堂教学不仅有助于激发大学生对数学的学习热情，还能从数学知识、数学概念、数学定义、数学逻辑推演及计算中，增强数学应用能力，开拓大学生的数学思维。
正如李大潜院士所讲“数学思想有助于从追求数学体系的完善上来达到数学逻辑与数学应用的严谨性，从而将数学构建成新的应用空间”。
通过对偏微分方程数值解的实践性教学环节的探析，来加强理论与实践的融合渗透，从不同行业来发挥数学知识的应用价值，让学生能够从中启发创新精神。
参考文献：
[1]龚雅玲.数学建模思想在高等数学教材中的渗透[J].北京教育学院学报(自然科学版).2015(03)：105-107.
[2]逄世友，苗连英.以本原问题驱动高等数学创新教学模式改革[J].教育现代化.2015(12)：91-94.
[3]李小斌，柴华岳，刘三阳.二阶线性微分方程可解的条件[J].高等数学研究.2015(04)：48-51.
[4]苗连英.高等数学创新教学模式改革[J].商情.2014(12)：90-91.
数学分析中微分概念探究教学的实践与思考【3】
摘要：《数学分析》课程教学应打破传统教学模式，积极开展自主、合作和探究式教学.微分概念探究教学应从概念的形成、概念的理解与巩固、学生认知水平三个角度开展.通过实践分析和总结得到：数学分析课程探究式课堂教学要重视良好课堂氛围的营造，探究活动核心环节的掌控以及学生认知水平的发展三个环节，循序渐进地开展科学合理有效的课堂探究教学活动.
关键词：微分;探究教学;情境问题;认知水平
一、引言
目前，很多从事高校数学课程教学的教育工作者，仍然采用教师教，学生学;教师讲，学生听的传统教学模式，导致学生学习积极性不高，学习兴趣逐渐丧失，因此，传统数学教学模式不利于学生形成良好的数学学习习惯和创造性思维能力.2015年国务院办公厅关于深化高等学校创新创业教育改革的实施意见中指出：“高校课程教学和考核方式要开展启发式、讨论式、参与式教学，……，注重考查学生分析、解决问题的能力.”
针对这一要求，高校数学教师应结合数学课程自身特点积极开展探究式教学改革.
近年来，有关数学探究教学的研究主要集中在中学数学教学领域[1-4]，然而高校数学探究教学的研究比较少，针对这一现状，本文以高师《数学分析》课程中微分概念探究教学为例，提出《数学分析》教学应积极开展自主、合作、探究的有效教学模式，为学生提供更多主动参与、合作交流、探究发现的教学活动，从而促进学生主体学习意识和能力的培养.
二、微分概念的教学探究实践与分析
Klausmeier指出概念是简化世界的类目，是将一系列物体、事件和思想进行分类的心智结构.概念是重要的，概念反应思想，但概念并不出思想，不是通过概念的变换产生思想的，相反，思想产生概念.[5]事实上，人类社会现有的数学概念都是在人类社会历史发展的过程中，随着劳动实践和社会经验的积累，在经验概括的基础上形成的.[6]
因此，教师在微分概念教学过程中，应从微分概念知识起源中寻找切入点，根据学生的认知水平，创设合理情景，引导学生从具体事例抽象出微分的实质，自主构建微分概念，并感悟概念形成中蕴含的数学思想，逐步培养自身的数学概括能力.
1.注重学生从具体到抽象的思维能力的培养，体会概念形成过程.微分概念比较抽象，若教师直接引入，学生很难理解与接受，故可以结合微分在实际的生产生活领域中的应用来引入微分概念.在实际生活中，往往需要根据测量值来近似计算某些物理量，故教师可以设计如下教学情境引入课题.
教学片段1：教师拿出三个正方形纸板如下图1所示，展示三个正方形纸板的面积的变化情况，并提出如下问题：
问题一：观察三个图形中面积增量主要取决于哪一部分?
问题二：思考当边长增量Δx→0时，ΔS，200Δx，(Δx)三者存在着怎样的关系?
设计意图：通过动态图形演示，创造教学情景，引导学生观察面积的变化规律，形成感官上的一种具体认知和判断.然后通过设置问题引导学生朝着预设的教学目标方向进行思考，并检测不同层次的学生对问题的分析理解能力.
学生在讨论后给出答案：当边长增量Δx→0，故有
显然，学生能够利用已学导数的概念来分析问题，但是对问题的理解缺乏方向性，没有刻画ΔS，200Δx，(Δx)三者关系，此时教师可以做进一步补充：
说明边长增量越来越小时，面积增量的实际值主要决定于两个小长方形的面积.再借助高阶无穷小量可知
ΔS=200Δx+ο(Δx)
从而使得微分概念的雏形自然而现.进而针对一般函数f(x)，给出微分的一般定义形式
其中ο(Δx)是Δx的高阶无穷小量.
教学分析：好的教学情境的引入，往往能营造良好的教学氛围，提升学生参与教学活动的积极性和主动性.但是在这样的教学过程中，学生的初步认知往往是具体的，并且是不完整的，甚至是错误的，教师应引导学生多思考如下问题：我的理解方式与已有的概念是否存在联系?
解决问题的关键在哪里?结论是否具有推广性?若不能推广，是否可通过修改条件实现结论的推广?等等.学生在反思过程中，会对已有的认知和理解进行深入思考，从而使得自己对数学知识的体验不断得以释放，思维能力不断提升，并逐步达到抽象思维的认知水平.
2.注重学生对概念深化理解，通过变练演编等方式巩固概念.王光明博士认为：
理解是数学学习的重要环节，“懂而不会的”现象说明学生对数学知识的学习并未达到真正的理解[7].因此，当微分概念给出后，并不代表着学生能准确认识和理解概念，它需要教师进一步引导学生从不同的侧面和角度去挖掘概念，解释概念，深化学生对概念的理解.
教学分析：本题的解题过程充分展现用定义法验证函数在某点可微需要一定的技巧和方法，并非易事.因此，教师在对微分概念讲解时要循序渐进，对问题的探究思路和角度要多元化，对教材例题要进行剖析和演编，同时还要给学生一些与例题类似或演编的题目进行训练，这样可以进一步加深学生对微分概念的理解.
3.在概念教学中逐步提升学生的认知水平，帮助学生建立新的认知结构.教师对例题进行总结和归纳是加深学生对概念理解的一种有效方法，同时也是促使学生发现新问题或新规律的一个有效途径.著名教育家波利亚在其著作《数学与猜想》中写道：
“数学的创造过程是与任何其他知识的创造一样的.在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全做出详细证明之前，你先得推测证明的思路.”[8]所以在教学活动中，教师应积极引导学生对已有结论进行反思、归纳和论证，促使学生的数学认知水平逐步提高，并在原有的认知水平上建立起新的认知结构.
教学片段3：教师请学生观察分析上述例题中给出的微分表达式的特征有哪些，并猜想在具备同样条件下的一般函数f(x)是否也有类似结论成立，若成立尝试证明你的结论.
设计意图：培养学生的观察分析能力，合情推理和归纳证明的能力等，通过对这些能力的培养，不断提升学生的认知水平，帮助学生建构新的认知结构.
学生通过相互讨论给出答案：(1)微分都是一个常数与自变量增量的乘积的结构模型;(2)算例表明常数恰巧是函数在该点处的导数值;(3)由导数定义形式可推知
-f′(x)=ο(1)?圯Δy=f′(x)Δx+ο(Δx)，
表明函数f(x)在点x可导一定可以推出f(x)在点x=x可微.
在了解学生的认知情况后，教师可以对学生给出的答案做进一步补充说明：一元函数可导一定可微，反之，可微也一定可导，证明如下
显然根据导数的定义可知A=f′(x).至此，教师可以带领学生对上述讨论内容进行总结，强调函数可导与可微是等价的，同时也找到了判断函数在某点是否可微的另外一种重要方法，此方法比微分定义法更容易证明.
教学分析：在课堂教学中，教师通过精心设置问题情境，引导学生进行演练、搜集数据和观察对比分析，并借助已有的经验知识进行大胆猜想，提出假说，进而论证假设的真伪性.在这一过程中，既发挥了教师在教学中主导作用，又体现了学生是课堂教学的主体.师生通过合作学习，共同探究，不仅增近了师生之间的情感交流，同时也让学生在学习过程中获得新的认知结构，提升了自身的认知水平，体验了数学创造的艰辛历程，并积累了丰富的数学素养.
三、数学分析课程探究教学的反思与建议
1.创设合理有效的问题情境，为学生营造良好的数学思维氛围.合理有效地创设问题情境，能够激发学生的学习积极性和主动性，让学生在解决问题的过程中学会思考，因此，数学分析课程教学应尽可能开展“情景―问题”探究式教学活动，教师通过设置一些能够与学生认知产生冲突的情境问题，将学生置身于探究未知问题的气氛中，激发学生的好奇心和求知欲，从而形成学生积极思考的良好课堂氛围.
2.开展探究教学活动要以教材为核心，做到循序渐进，问题解决方案多元化.数学分析课程教学由于学习内容比较抽象，学时又有限，所以在开展探究式教学活动中，教师要以教材为核心，重点突出基本概念与定理，并且教学过程中所设置的问题要适中，难度有层次性，能够形成问题链.问题提出循序渐进，能够体现思维水平由低到高的发展过程，此外，探究问题的解决方案尽可能多元化，学生在思考问题时可以从多角度、多方向、多途径寻找切入点，提出多种新颖的见解，进而促进学生发散思维能力的培养.
3.引导学生多回顾与反思，形成新的认知水平.回顾与反思有利于学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯，有利于发现数学问题及其解答的来龙去脉，有利于发现数学问题，方法和理论之间的广泛联系，有利于发现许多相关结果中的交汇点.[9]因此，教师在教学过程中，要多鼓励学生进行反思，多联系知识点之间的关系，通过反思与总结去改编，引申或者推广已有的问题和结论，进而产生新的问题，形成新的认知结构.
参考文献：
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[5]张楚廷.数学教育心理学[M].北京：警官教育出版社，1998.
[6]曹才翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，1990.
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[8]波利亚.数学与猜想[M].李心灿，译.北京：科学出版社，1985.
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