微分几何教学尝试

时间：2022-10-05 22:43:12 数学毕业论文我要投稿

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微分几何教学尝试

　　微分几何教学尝试【1】

微分几何教学尝试

　　摘要：微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

　　文中基于微分几何教学实践，倡导依据不同的教学内容、教学时间采用不同的教学方法与模式。

　　举例说明信息技术促进微分几何教学理解，尝试、期盼信息技术优势与传统教育模式的深度融合，努力进行敏捷的全要素配合，力求更好地传递出正能量。

　　通过“简化”微分几何的知识结构，“美化”微分几何教学，加强知识的横向与纵向类比与对照，以期在为学生们提供优质服务的同时实现教学质量的提高。

　　关键词：微分几何教学模式教学方法教学质量

　　微分几何是微积分在几何中的应用。

　　求曲线在一点的切线，相当于求函数在一点的微分，而要给出闭曲线所围区域的面积，就归结为求积分，但是物理世界的曲线、曲面是异常复杂的，反过来又向整个数学提出许多重大问题。

　　作为微分几何学入门的本科微分几何课程，充分展示着数与形的奇妙结合，成为学生了解近代数学发展的一个有效途径，是学习更高级知识的桥梁，其在学生的数学能力培养、思维品质提高以及后续高级课程学习等方面都具有重要作用。

　　为了提升微分几何的教学质量，努力进行全要素配合，力求更好地为学生服务。

　　挖掘、整合微分几何的知识内涵，“简化”微分几何的知识结构，多角度、多形式、多层面地梳理微分几何的知识框架，突出其间的几何与分析特征，加强知识的横向与纵向类比与对照;“美化”微分几何教学，把相关知识进行深层加工和梳理，以易于被学生认识与接受的审美信息形式呈现给学生，让学生学会发现美、体会美，唤起学生的灵动感与主动性，激发学生健康向上的数学审美意识，巧妙降低课程的枯燥程度，提高学生对微分几何的认识，以提升微分几何的教学效果。

　　1 教学过程、教学方法与模式

　　教学过程中力求多种教学模式、教学方法的灵活交替或转换。

　　依据教学内容、教学时间的不同采用不同的教学方法与模式。

　　如，国庆临放假前的那次课，设计一堂复习课，实现全覆盖新学期以来的知识点，稍稍重视一下趣味性，同时采用互动的形式完成课堂内的练习，可以说足以让愿意投入其中的学生们在小长假之后对那时课程的主要内容绝对留有较深的印象。

　　又如，活动标架的建立往往需要铺垫的时间多一点，教师需要做的也要耐心细致点。

　　但在学习基本三棱形之后，伏雷内公式的导出完全可以交由学生来做。

　　虽然学生们对向量的数量积、向量积和混合积等算不上熟练，但只要加以引导，自己推导的效果比教师推理的好很多，而且正好有利于学生将来更好地运用向量的运算和导出的公式，随后欣赏起其间的反对称美来也更具自豪感。

　　作为愉快教学方式的拥戴者，我们也进行了相关尝试。

　　一般选择轻音乐，播放时间则往往是课间或者音乐伴随图片展示飘出。

　　几何自然是与图形不分离的。

　　大自然中攀缘植物的形态、上海中心大厦的螺旋梯等让我们学习起圆柱螺线来更觉得踏实。

　　凭着信息社会的优越，依靠网络，我们不仅能欣赏生物化学的DNA双螺线图形;而且还能全方位感受与DNA结构相似的世界上首座曲线桥，新加坡的螺旋人行天桥，那充溢着未来感的设计无疑让观者感受到几何的生命力。

　　微分几何无时无处不在向人们展示着其巨大的魅力。

　　生活的世界中，存在着各种各样的光滑曲线和曲面，以及众多的赏心悦目的艺术几何造型。

　　我们当然不能忽略它们的作用。

　　为了更好地理解曲面，结合线上线下实际，我们展示了一些著名的标志性建筑，其中涉及迪拜大厦、台北的国际金融中心大厦、上海的中心大厦与金茂大厦、深圳的帝王大厦;马来西亚首都吉隆坡的双子塔、在建的武汉CBD双子塔、正在兴建的厦门双子塔的设计图、珠江新城中带有遗憾的建筑――中轴线上不对称的广州“双子塔”、毁于“911”的纽约双子星。

　　对于重要的概念，如曲率，正常教学之外，我们提及了激光近视手术。

　　或许因为班上近视的同学不少，学生们对它的兴趣远超出想象，比起讲述那是研究静电场中某些问题的一个有力工具吸引力大多了。

　　又如，关于切触这个概念，我们谈起鞋的磨脚问题，聊起了后跟贴等。

　　原来，微分几何真的离我们很近很近。

　　体会“数”与“形”的巧妙结合，“理论”与“应用”的有机结合，自然有利于促进学生们在逻辑思维能力与直觉思维能力的全面发展。

　　当然，正常的教学要求、教学内容也是不能忘的。

　　简单而言，教学内容就是如下两个基本问题。

　　正问题：曲线/曲面特征指标内蕴量;

　　反问题：基本不变量曲线/曲面的设计与构造曲线/曲面基本定理。

　　问题、知识都是由人发现的。

　　相关科学家自然也不能被忽略。

　　欧拉、蒙日、高斯、黎曼、克莱因、嘉当;苏步青、陈省身、谷超豪、胡和生、李安民……微分几何无疑有着悠久的研究历史、曲折的发展过程。

　　在教学中，我们也注重学科发展简史、重要历史人物和重要历史进程的简介。

　　介绍知识点结合与之相关的数学家及其成就，以及有关理论在历史上的发展情况，帮助学生了解国内国际微分几何学以及微分几何学者们的成长与发展;开阔知识面、增加学习的兴趣、体会各知识点所传递的思想以及它们之间的有机联系。

　　而且，许多数学家曲折的人生经历、孜孜以求的科研奋斗精神，无疑会对学生产生积极的人格影响。

　　因此，若联系新常态，这必然会促进学生们在知识与技能、情感态度与价值观等方面的和谐发展。

　　教学过程中，我们也力求实现学科间的横向沟通与纵向联系，实现信息技术优势与传统教育的深度融合，努力构建以学生为中心的教学模式。

　　因而努力抓常、抓细，力求持久地抓住知识信息间的联系。

　　鼓励学生运用Matlab、Maple等软件进行学习，希望能更上一层楼。

　　参考文献

　　[1] 孙和军，赵培标，陈大广.微分几何的教学地位与方法[J].高等数学研究，2011，14(1)：101-103.

　　[2] 王韶丽.《微分几何》的愉快教学方式探究[J].邢台学院学报，2012，27(2)：168-169，172.

　　[3] 符和满.浅谈《微分几何》的教学方法[J].数学教学研究，2013，32(5)：66-68.

　　[4] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

　　[5] 赵宝明，李培廉.静电场理论中微分几何方法的一个应用[J].数学的实践与认识，2010，40(16)：199-202.

　　[6] 李大潜，华宣积.苏步青与中国微分几何学派[J].高等数学研究，2013，16(2)：1-6.

　　[7] 陈维桓.关于在大学数学教学中加强几何教学的几点意义[J].高等数学研究，2002，5(4)：5-8.

　　数学专业学生学习微分几何的困因及教学策略【2】

　　摘要：微分几何是数学专业一门重要的专业课程，它对于逐步提高几何思维和空间想象能力和一定的计算证明能力起到了一定的促进作用，然而学生学习微分几何存在学习困惑。

　　通过详细分析数学专业学生学习微分几何的困因，提出了一定的改变现状的教学策略。

　　关键词：数学专业学生;微分几何：困因;教学策略

　　1 引言

　　微分几何是综合性大学数学系各专业重要的专业课，也是应用性很强的一门数学课程。

　　微分几何课的目的一方面使学生锻炼空间想象能力和抽象思维能力，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，另一方面培养学生理论联系实际和分析问题、解决问题的能力。

　　然而学生学习微分几何存在学习困惑。

　　解决学生学习该课程的困惑有重要的现实意义。

　　本文通过详细分析数学专业学生学习微分几何的困因，提出了一定的教学策略，为数学专业学生学习微分几何课程提供一点学习参考，以及针对教学提供一些教学建议。

　　2 数学专业学生学习微分几何的困因

　　2.1 对微分几何学习存在认识的偏见

　　微分几何是微积分原理渗透到空间几何知识和理论形成的专业课程，鉴于其几何的知识背景，课程内容会涉及很多不同的概念，这些概念的计算公式也会相应呈现。

　　因此，当学生学习到一定的时候，会认为只要记住公式就能懂得解题的方式。

　　往往会把中学时候的初等几何的学习方法融入到微分几何的学习中，片面地认为公式是贯穿整个知识的主要问题，从而不能摆脱以记忆公式为主的学习几何的学习方式。

　　另外，微分几何知识中存在一些复杂的空间几何问题，因为空间几何更多的穿插着很多不规则的曲线和曲面，鉴于个人的空间想象能力的局限，就会产生学习困惑，以至于倾向于单纯的知识和公式的记忆模式。

　　2.2 习题训练缺乏主动性和积极性

　　微分几何的内容中充斥着很多需要计算和解答的问题，这就需要学生动手进行认真的演算。

　　然而，由于学生对学习存在认识的偏见，往往有些学生懒于动手演算，他们认为只要记住公式，计算一般不会有问题。

　　他们忽略了重要的问题就是，有些没有发现的问题往往存在于计算和推演的过程中。

　　数学的学习在某种程度上告诉我们，发现问题有时候比解决问题更重要。

　　因此，只有动手认真演算，才能发现一个计算问题可能会牵扯到哪些相关学科的知识，或是存在什么样的难点和疑问。

　　而这样的学习方式在课堂教学和课后的作业中被淡化了。

　　学生对习题训练更多是缺乏主动性和积极性。

　　2.3 课堂教学中提问呈现的思维惰性

　　在课堂教学中，教师引导解决一个微分几何问题。

　　比如：给出一定的条件，求解动点的轨迹。

　　学生往往不知道条件如何进行有效地整合。

　　这就显示出所学知识的模糊，以及思维的惰性。

　　当遇到困惑时，短时间的思考不能形成有效的求解方式，此时学生就会凸显出思维的惰性，即不愿意再过多地去思考条件与所求问题之间的关联。

　　对于一个问题的思考，往往不知道思考的出发点是什么，如何去找。

　　对问题的困惑的认知程度就会逐步形成思考和学习的困惑，久而久之就会潜意识地形成思维的惰性，阻碍学生的思维积极性。

　　3 教学策略与方法

　　3.1 突出传授数学思想和学习方法

　　突出传授数学思想和数学方法。

　　了解学生学习特点和困难，注重引导和启发，让学生尽早地更多地掌握数学的思想和方法。

　　在课堂教学中尽可能把握微分几何各种内容之间的内在联系，揭示课程学习的主要问题。

　　把数学中的各种数学思想方法融合到教学方式和教训内容中，激发学生的空间想象能力和对所学知识的领悟能力。

　　微分几何突出的是应用微积分的原理去解决空间几何问题的一种方式，因此，在教学中要不断回顾微积分所学知识的一般原理，引导学生整合有效的资源，循序渐进地学习微分几何的相关知识，提高个人的学习能力和思维能力。

　　3.2 加强有效的课堂教学互动

　　通过有效地互动的课堂教学，刺激学生的学习兴趣。

　　课堂上对于微分几何知识和问题的有效探讨，可以调动学生的学习积极性，比如：针对空间基本三棱形得到的密切平面、法平面和从切平面，在求解各自方程时候，不仅要讲解平面的平面的构造，更要引导学生理解构造的方式，即如何构造，为什么要这样构造。

　　只有理解这些问题，然后进行方程的推导，得到同一平面的不同的求解方程，促进学生理解各类方程的推导原理，而不是单纯记忆相应的公式。

　　一方面，学生在互动中理解了课堂内容和求解问题的方法，另一方面调动了学生学习微分几何的积极性，提高了学生的理解能力。

　　3.3 注重学生学习的引导和启发

　　在教学中要始终抓住基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧，重视课堂互动并引导学生分析问题，注意培养学生的独立思考能力。

　　结合以前所学的数学分析、解析几何、复变函数以及中学所学知识(如平面几何、立体几何、平面解析几何)，引导学生比较与区别，促使学生将抽象的微分几何知识渗透到其它数学知识中，�亩�起到启发学生深入思考的效果。

　　微分几何主要有曲线论和曲面论两大内容，在教学中，要不断引导学生注重在学习微分几何知识的过程中，尽可能理解相关概念定义的来源及其构造。

　　面对众多的知识点和方程、定理和公式，只有理解相关原理，才能有效把握这些问题的实质，从而促进真正有效的记忆。

　　参考文献

　　[1] 梅向明，黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社， 2011： 39-40.

　　[2] 陈鼎兴.数学思维与方法――研究式教学[M].南京：东南大学出版社，2011：61-62.

　　教学在常微分方程教学中的新尝试【3】

　　摘要：本文对通过兴趣小组参与课堂的各个环节进行的讨论式教学在常微分方程教学中的运用，进行了探索和新的尝试。

　　关键词：讨论式教学兴趣小组教学模式

　　近几十年来，动力系统及非线性科学的迅猛发展，通过数学建模的方式，将数学知识应用到社会实践中，极大地推动了支撑国家命脉的各个行业――力学、物理、电力工程、机械工程、通讯工程、天文学、航空航天技术等――的发展。

　　常微分方程作为对动力系统及非线性学科起到奠基性作用的基础学科，在这一理论指导实践的过程中，起到了极为重要的基础性作用。

　　关于常微分方程这门课程，社会对我们提出了新的应用方面的要求，就促使我们不能仅仅停留在对理论的讲授上，更加不能让学生刻板地接受知识，而是要通过教学模式的改革，提高学生的自学能力、创新能力及团队协作等能力的培养。[1]

　　一、传统的教学模式

　　首先，从教师的角度来讲，传统的教学模式――备课，授课，课后反思，课后辅导;从学生的角度来讲，传统的学习模式――预习，听课，复习巩固，作业。

　　这些环节中的关键是授课和听课，传统的教学模式中，授课者在作为个体单独地讲，听课者作为个体在单独地听，互动多为个别提问及眼神的交流。

　　讲课的老师辛苦，听课的学生感觉到的却可能是枯燥乏味，课堂效果可想而知。

　　其次，传统的教学手段――粉笔加黑板。

　　对于数学专业的课程来说，板书的效果是非常好的，因为在板书的过程中，事实上融入了思考的元素。

　　但是，板书的确浪费了大量的时间。

　　所以，适当地正确地适用多媒体，可以既节省时间，又不破坏板书在数学课程教学中所起到的不可磨灭的良好作用。

　　1.讨论式教学模式

　　2.讨论式教学

　　从教师的角度来讲，讨论式教学模式――备课(增加兴趣小组课堂及课后讨论题目的确定)，课讲(正式开课前几分钟，由兴趣小组成员或其他感兴趣的同学讲题，教师给予相应指导)，授课(增加师生讨论、生生讨论环节)，兴趣小组讨论题的布置，课后反思(增加对课堂讨论效果、讨论时间、讨论方式等方面的反思)，课后辅导(增加对兴趣小组讨论题的指点、提示及指导)。

　　从学生角度来讲，讨论式教学模式――兴趣小组讨论题目的资料查阅及讨论，预习，兴趣小组成员课前讲题(其他同学可以参与讨论，时间控制在十分钟之内)，听课(改单独听课的习惯为课堂讨论)，复习巩固，作业，兴趣小组题目的讨论。

　　2.1兴趣小组的建立

　　作为普通本科院校的数学系，数学专业学生的数学基础参差不齐，同时由于招生时调剂因素进入数学专业的学生大有人在，所以很难保证所有学生都对数学兴趣浓厚，这就对从事数学专业课程教学的老师，当然包括常微分方程老师提出了更高的要求――如何可以使对数学兴趣不够浓厚，数学分析基础又不是很好的同学学好常微分方程。

　　对此，我们在建立兴趣小组方面，做了一些新的尝试，效果还是明显的。

　　兴趣小组，就是将对数学感兴趣以及数学基础比较扎实的同学，聚在一起，分成小组的分组方式。

　　通过兴趣小组成员更多地参与到课堂及课后讨论中，带动更多的同学参与到讨论中来，从而提高教学效果。

　　从某种意义上讲，讨论式教学的核心就是兴趣小组成员参与并带动教学。[2]

　　2.2讨论式教学模式下，各个环节的正常运行

　　2.3课前十分钟

　　对上次课老师所留兴趣小组讨论题目进行讲解，同时接受同学们的提问。

　　作为教师，一方面要认真听讲，以免错过学生讲错并及时订正，另一方面，要调动大家的积极性，既调动大家积极参与讲解，又调动大家积极参与思考和讨论。

　　2.3.1课堂教学环节

　　课堂教学中，对于新的概念及理论，讲解的过程中增加互动，调动学生参与课堂教学。

　　每一小段落，都给学生留几分钟的时间，相互讨论总结刚才所讲内容的思路脉络，及时发现问题并解决问题，尽可能早并彻底的消化课堂内容。

　　为了提高这种讨论的效果，要将兴趣小组成员分散到课堂的各个角落。