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矩阵的等价标准型在量子力学的应用
量子通信技术【1】
摘要：矩阵的等价标准型是矩阵论中的一种重要形式。
不仅可以解决很多线性代数中的问题，也可以解决物理中的一些问题。
本文以矩阵的等价标准型为研究对象，通过举例的方式，探讨了矩阵的等价标准型在量子力学中的应用。
关键词：矩阵;等价标准型;量子力学;应用
一、引言
矩阵的等价标准型是矩阵论中的一种既特殊又重要的形式，它可以解决代数中的许多问题，例如利用矩阵的等价标准型来研究矩阵的一些性质，广义逆矩阵等等。
本文是把量子力学和代数中的矩阵联系起来，把矩阵的等价标准型应用在物理学的量子力学中。
矩阵A和B是等价的，如果矩阵B可以由A经过一系列初等变换得到，同样也可以这样表达：两个n×m矩阵，A，B若存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B，则称这两个矩阵，A，B是等价的。
矩阵Ir000为A的等价标准形是这样定义的：A是一个m×n矩阵，并且A的秩为r，则A等价于矩阵Ir000.
二、在物理中关于量子力学的应用
标准形矩阵在量子力学中的应用，这是物理学中比较重要的一个应用。
等价标准形在量子力学中主要应用在线偏振器的表示和密度矩阵的求解中。
在力学中， 线偏振器是这样定义的，由入射自然光得到偏振光的器件称为线偏振器，当透振沿X轴的方向时，琼斯矩阵可以很容易得到为10
00， 根据上面的定义，我们可以知道它是等价标准形。
当入射光E连续通过两个或两个以上偏振器时，输出光是它们的叠加，输出的光可表示为E=MnMn-1…M1E.M1，M2…Mn 为依次通过的各偏振器的琼斯矩阵，那么很容易看出偏正态变为简单的矩阵运算，又回归到数学的运算之中了。
例1设有一条偏线振光满足振幅为A，并且振动方向是X轴，先通过一透振方向与X轴方向的偏振片，再通过一块沿轴X方向45度方向放置的方解石λ4片，求出光偏正态和强度。
对于上式进行分析，不难得出输出光的x，y分量偏振幅均为A2，这两个振动相位差为π2，很容易看出，出射光和左旋圆偏正光的形式是一样的，那么它就为左旋圆偏正光，I=(A2)为出射光的强度，入射光线的强度为π2.
例2 量子态|φ>相应的密度矩阵的矩阵元Pn′n出现(不为0时)，量子态|φ>必含有|n>和|n′>态，Pn′n的值与|n>和|n′>态在态|φ>中出现的几率和相位都有关，如|φ>就是F的某一个本征态|k>，则Pn′n=|n|k>|k|n′>δnkδn′k=δnn′δn′k.它是一个对角矩阵，而且对角元中只有一个元素ρkk′不为0，且ρkk′=1，求电子自旋σx=±1的本征态在pauli表象(σZ表象)中的密度矩阵，进而求它在σx表象中的密度矩阵。
[参考文献]
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量子力学的发展及应用【2】
摘 要：量子力学是对经典物理学在微观领域的一次革命。
它有很多基本特征，如不确定性、波粒二象性等，在原子和亚原子的微观尺度上将变的极为显著。
爱因斯坦、海森堡、波尔、薛定谔、狄拉克等人对其理论发展做出了重要贡献。
量子力学是现代物理学基础之一，在低速、微观的现象范围内具有普遍适用的意义。
论述了量子力学的发展以及与量子力学相关的物理概念，讨论了量子力学研究的主要内容。
关键词：量子力学 量子力学发展 质子和粒子
前言：量子力学是对牛顿物理学的根本否定。
l9世纪末正当人们为经典物理取得重大成就欢呼的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。
在经典力学时期，物理学所探讨的主要是那些描述用比较直接的试验研究就可以接触到的物理现象的定律和理论。
在宏观和慢速的世界中，牛顿定律和麦克斯韦电磁理论是很好的自然定律。
而对于发生在原子和粒子这样小的物体中的物理现象，经典物理学就显得无能为力，很多现象没法解释。
1.量子力学的起源
量子论起源于经典物理学体系中出现的反常的经验问题，以及相伴随的概念问题。
量子力学的发展主要归功于四位物理学家。
德国的海森伯于1926年作出了量子力学理论的第一种表述。
利用矩阵力学的理论，求得描述原子内部电子行为的一些可观察量的正确数值。
接着，奥地利的薛定谔发表了波动力学，是量子力学的另一种数学表述。
同年，德国的伯恩对上述两种数学表述作出可以接受的物理解释，并首先使用“量子力学”这个名词。
1928年，英国的狄拉克又把上面的理论加以推广，并与狭义相对论结合起来。
量子力学是对牛顿物理学的根本否定。
牛顿认为物质是由粒子组成的，粒子是一个实体，量子力学认为粒子是波，波是无边无际的。
牛顿认为宇宙是一部机器，可以把研究对象分成几部分，然后对每一部分进行研究。
量子力学认为自然界是深深地连通着的，一定不能把微观体系看成是由可以分开的部分组成的。
因为两个粒子从实体看可以分开，从波的角度他们是纠缠在一起的。
牛顿认为宇宙是可以预言的，而量子力学认为，自然界在微观层次上是由随机性和机遇支配的。
牛顿认为自然界的变化是连续的，量子力学认为自然界的变化是以不连续的方式发生的。
2.量子力学的形成
2.1 量子假说的提出
1900年l2月14日，德国物理学家普朗克在柏林德国物理学会一次会议上提出了黑体辐射定律的推导，这一天被认为是量子力学理论的诞辰日。
在推导辐射强度作为波长和绝对温度函数的理论表达式时，普朗克假设构成腔壁的原子的行经像极小电磁振子，各振子均有一个振荡的特征频率。
振子发射电磁能量于空腔中，并自空腔中吸收电磁能量，因此可以由在辐射平衡状态的振子的特性而推出空腔辐射的特性。
而关于原子的振子，普朗克作了两项
根本的假设，现简述如下：
① 振子不能为“任何能量”，只能为：
(1)
式中：为振子频率，为常数(现称为普朗克常数)，只能为整数(现称为量子数)，(1)式断言振子的能量只能是一份一份的，而不能是连续的，即振子能量是量子化的。
②振子并不连续放射能量，仅能以“跳跃”方式放射，或称“量子式”放射。
当振子自一量状态改变至另一态时，即放出能量量子。
因此，当改变一个单位时，放射之能量为：
只要振子仍在同一量子状态，则既不放射能量也不吸收能量。
2.2 爱因斯坦利用量子假说揭开光电效应之谜
爱因斯坦根据普朗克的量子假设推理认为：如果一个振动电荷的能量是量子化的，那么它的能量变化只能是从一个允许的能量瞬时地跃迁到另一个允许的能量，因为根本不允许它具有任何中间的能量值。
而能量守恒就意味着，发射出的辐射必须是以一股瞬时的辐射进发的形式从振动电荷产生出来，而不是电磁波理论所预言的长时间的连续波。
爱因斯坦得出结论：辐射永远以一个个小包、小粒子的形式出现，但不是象质子、电子那样的实物粒子。
这些新粒子是辐射构成的;它们是可见光粒子、红外光粒子、 射线粒子等等。
这些辐射粒子叫做光子。
光子和实物粒子不同：它们永远以光速运动;它们的静止质量为零;振动的带电粒子产生光子。
3.量子力学的宇宙观
在原子的量子理论的探讨中，从对氢原子的研究中发现，氢原子有无数个量子态。
而电子多于一个的原子有更复杂的量子态，这些量子态都从求解适合于该特定原子的薛定谔方程，并且要求其场刚好环绕原子核产生驻波而求得。
由于这些量子态的每一个都是有特定频率的驻波，并且波的频率和它的能量相联系，预期每个量子态只有一个特殊的能量。
这就是说，预期任何一个态的能量不会有任何量子不确定性。
可以对每个态的能量大小作合理的猜测。
由于质子作用于电子的力是吸引力，要把一个电子向外拖到离原子核更远的地方就必须做功。
因此电子离原子核越远，电子的电磁能量就越高。
量子理论的中心思想是，一切东西都由不可预言的粒子构成，但这些粒子的统计行为遵循一种可以预言的波动图样。
1927年，德国物理学家海森伯发现，这种波粒二象性意味着，微观世界具有一种内禀的，可以量化的不确定性。
量子理论的最大特点也许是它的不确定性。
量子不确定的实质是，完全相同的物理情况将导致不同的结果。
哥本哈根学派解释的结论是，微观事件真的是不可预言的。
而且，当我们说一个微观粒子的位置是不确定的时候，意思并不仅仅是我们缺乏有关其位置的知识。
相反，意思是这个粒子的确没有确定的位置
结语：量子力学在低速、微观的现象范围内具有普遍适用的意义。
它是现代物理学基础之一，在现代科学技术中的表面物理、半导体物理、凝聚态物理、粒子物理、低温超导物理、量子化学以及分子生物学等学科的发展中，都有重要的理论意义。
量子力学的产生和发展标志着人类认识自然实现了从宏观世界向微观世界的重大飞跃。
参考文献
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[3] 张德兴，桂起权.通向人类思想的深层：哲人科学家――玻恩[M].福州：福建教育出版社，1996.
变分法在量子力学中的应用研究【3】
摘 要 在处理物理问题及量子力学问题时，通常会应用到变分法。
变分法与处理数的函数普通微积分保持着相对立关系，属于处理函数的一种方式。
欧拉-拉格朗日方程式是变分法最为重要的定理。
通过变分法，可以实现泛函临界点对应。
变分法的出现推动了理论物理的进一步发展，在量子力学及相应最小作用量原理中发挥着十分重要的作用。
在概述变分法的基础上，对变分法在量子力学物理领域的应用进行研究与分析。
实践证明，在处理量子力学问题中，变分法发挥着重要作用。
关键词 变分法;量子力学;最优控制
20世纪二三十年代，奥地利物理学家薛定谔提出一种可以进行微观粒子体系运动行为的一波方程，被人称之为薛定谔方程。
通过进行薛定谔方程求解，可以获得体系波函数，应用体系波函数，可以确定体系性质，此后有学者对相对论效应狄拉克方程的确定进行了研究。
这些研究成果的出现，让人们认为量子力学其普遍理论似乎已经基本完成，人类已经基本知晓了绝大部分物理学及物理定律。
解决问题困难及关键仅在于如何将这些定律进行现实应用。
狄拉克认为，随着体系的不断增加，薛定谔方程或狄拉克方程几乎是不可解的。
针对这种现象，求解其方程的近似方法不断被研究。
在物理量子学领域，进行薛定谔法方程求解，其主要方法包括微扰法及变分法。
束缚定态是建立于不含时间的薛定谔方程，即在能量变分原理的等价性基础上，能量本征值方程解是通过对能量极值的求解来完成的。
在进行具体问题处理的过程中，通过波函数中一些特殊变化将最普遍任意变分进行替代，通过这种方法可以获得依赖于波函数特殊形式的一种近似解，这种解决问题的方法被称之变分法。
变分法用在解决如量子力学等物理问题领域。
变分法的应用，其优势在于运用变分法进行方程求解并不会受到限制，在保证变分函数良好的基础上，即可实现对体系基态性质的研究。
1 变分法概述
变分法与处理数函数普通微积分表现出相对立关系。
泛函是通过位置函数导数及相应位置函数积分来实现相应构造。
变分法应用的最终目的在于找出更好的极值函数，通过变分法，获得泛函最大值或最小值。
欧拉-拉格朗日方程式属于变分法最重要定理。
通过变分法，可以获得相应泛函临界点，在处理量子力学及其他物理问题时应用优势十分明显。
在解决量子力学问题时，解决微扰问题最为广泛的方法是应用微扰法及变分法。
如应用微扰法进行量子力学问题的解决，其条件则为体系的哈密顿算符。
可以分为及两个部分，则有：
= +
在微扰法中，本征函数及本征值属于已知，则很小，如在解决问题时其满足微扰法求解问题的基本条件，则可以实现量子问题求解。
然而在实际应用中，进行全体必要的矩阵元求和计算是十分困难的，其解决问题存在着一定的局限性。
应用变分法则不会受到条件限制。
如将体系哈密顿算符本征值由小到大进行排列，其顺序如下：
E0，E1，E2，…En，… (1)
计算这些本征值对应本征函数，则有：
Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… (2)
在公式中，E0代表的是基态能量，Ψ0代表的是基态波函数。
为便于研究，假设与本征值En是保持对立的，本征函数Ψn组成正交归一系，则有：
Ψn=En+Ψn (3)
在公式中，设Ψ属于任意归一化波函数，将公式展开后获得：
(4)
在进行Ψ状态描述时，其体系能量平均值则为：
(5)
通过公式整理，则可以获得：
(6)
因E0代表的是基态能量，为此，则有E0
(7)
=E0属于Ψ归一条件，则有：
(8)
公式(8)不等式说明，在进行任意波函数Ψ求解时所获得的平均值总是较之基态能量较大，在进行Ψ平均值求解时，其中最小平均值与E0最接近。
当Ψ作为体系中Ψ0基态波函数时，此时基态能量E0则与平均值保持一致。
由此，实现变分法基态能量及基态波函数体系求解。
2 量子力学变分原理
如下，为某个微观体系薛定谔方程：
(9)
该薛定谔方程为变分问题欧拉微分方程，其变分问题求解则是对其能量积分进行求解，则有：
(10)
能量积分极小值为：
(11)
将体系哈密顿量设为H，则有：
(12)
在满足归一化条件的基础上，进行公式整理，则有：
(13)
实践证明，经过欧拉微积方程整理，可以获得薛定谔方程，证明微观体系薛定谔方程是可以让能量积分获得极值时的欧拉微分方程。
以上公式，则为量子力学中变分原理。
3 变分法在量子力学中的应用案例
在量子物理或经典物理中，一维谐振子与很多物理现象存在较大关系，甚至可以将任何体系在稳定平衡点位置所进行的运动看作一种近似一维谐振子，如核振动、晶体结构离子及中原子振动等。
本文在分析量子力学变分原理的基础上，进行一维谐振子研究。
将谐振子质量设为m，并沿x轴进行直线运动，则谐振子所受到势能为，可以通过以下公式进行哈密顿量表示：
(14)
体系试探波函数为，按照归一化条件，可以获得。
则有：
(15)
通过公式调整，可以获得以积分公式：
(16)
通过计算后获得：
(17)
并获得体系最低能量值为：
(18)
相应函数简化后为： (19)
通过检验后发现，这种计算结果与求解结果相同，证明所选取的变分函数良好。
图1为典型a下线性谐振子波函数及位置几率密度分布图。
波函数能够满足高斯型分布，在x=0位置，存在明显峰值，随着a逐渐降低，其峰值降低，且峰宽度逐渐增加。
从图1中可以看出，波函数几率密度分布状况与波函数、分布曲线形状基本保持一致。
应用变分法所求解出的波函数几率分布存在一定差异。
由此可以看出，应用变分法解决量子力学问题时，虽然其可以简单方便地进行体系基态性质求解，但其属于解决问题的近似方法，其近似程度随着参数变化发生变化。
只有保证所选择的波函数满足边界条件及归一化条件，参数越多时，其结果越好。
变分法其应用的优点在于其求解过程并不受到什么限制，但其结果好坏完全是由尝试波函数选择来确定。
为此，在应用结构变分法解决物理量子力学问题时，应保证变分法所选择的尝试波函数的合理性及科学性。
4 结语
当前，微扰法及变分法是处理物理量子力学问题常见的方法。
微扰法求解存在一定局限性，变分法求解并不受到任何限制，变分法属于处理函数的一种方式，与处理数的函数的普通微积分保持着相对立关系。
应用变分法，可以实现泛函临界点对应。
变分法在解决物理问题中发挥着十分重要的作用，尤其是在量子力学领域。
本文在概述变分法的基础上，对量子力学变分原理进行分析，并通过一维谐振子对变分法在量子力学中的应用进行分析。
通过实践证明，变分法在处理量子力学问题方面具有较大优势，保证尝试波函数选择合理性，是实现变分法效果的关键。
参考文献
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