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变分法在量子力学的应用
变分法在量子力学的应用【1】
摘 要 在处理物理问题及量子力学问题时，通常会应用到变分法。
变分法与处理数的函数普通微积分保持着相对立关系，属于处理函数的一种方式。
欧拉-拉格朗日方程式是变分法最为重要的定理。
通过变分法，可以实现泛函临界点对应。
变分法的出现推动了理论物理的进一步发展，在量子力学及相应最小作用量原理中发挥着十分重要的作用。
在概述变分法的基础上，对变分法在量子力学物理领域的应用进行研究与分析。
实践证明，在处理量子力学问题中，变分法发挥着重要作用。
关键词 变分法;量子力学;最优控制
20世纪二三十年代，奥地利物理学家薛定谔提出一种可以进行微观粒子体系运动行为的一波方程，被人称之为薛定谔方程。
通过进行薛定谔方程求解，可以获得体系波函数，应用体系波函数，可以确定体系性质，此后有学者对相对论效应狄拉克方程的确定进行了研究。
这些研究成果的出现，让人们认为量子力学其普遍理论似乎已经基本完成，人类已经基本知晓了绝大部分物理学及物理定律。
解决问题困难及关键仅在于如何将这些定律进行现实应用。
狄拉克认为，随着体系的不断增加，薛定谔方程或狄拉克方程几乎是不可解的。
针对这种现象，求解其方程的近似方法不断被研究。
在物理量子学领域，进行薛定谔法方程求解，其主要方法包括微扰法及变分法。
束缚定态是建立于不含时间的薛定谔方程，即在能量变分原理的等价性基础上，能量本征值方程解是通过对能量极值的求解来完成的。
在进行具体问题处理的过程中，通过波函数中一些特殊变化将最普遍任意变分进行替代，通过这种方法可以获得依赖于波函数特殊形式的一种近似解，这种解决问题的方法被称之变分法。
变分法用在解决如量子力学等物理问题领域。
变分法的应用，其优势在于运用变分法进行方程求解并不会受到限制，在保证变分函数良好的基础上，即可实现对体系基态性质的研究。
1 变分法概述
变分法与处理数函数普通微积分表现出相对立关系。
泛函是通过位置函数导数及相应位置函数积分来实现相应构造。
变分法应用的最终目的在于找出更好的极值函数，通过变分法，获得泛函最大值或最小值。
欧拉-拉格朗日方程式属于变分法最重要定理。
通过变分法，可以获得相应泛函临界点，在处理量子力学及其他物理问题时应用优势十分明显。
在解决量子力学问题时，解决微扰问题最为广泛的方法是应用微扰法及变分法。
如应用微扰法进行量子力学问题的解决，其条件则为体系的哈密顿算符。
可以分为及两个部分，则有：
= +
在微扰法中，本征函数及本征值属于已知，则很小，如在解决问题时其满足微扰法求解问题的基本条件，则可以实现量子问题求解。
然而在实际应用中，进行全体必要的矩阵元求和计算是十分困难的，其解决问题存在着一定的局限性。
应用变分法则不会受到条件限制。
如将体系哈密顿算符本征值由小到大进行排列，其顺序如下：
E0，E1，E2，…En，… (1)
计算这些本征值对应本征函数，则有：
Ψ0，Ψ1，Ψ2，…，Ψn，… (2)
在公式中，E0代表的是基态能量，Ψ0代表的是基态波函数。
为便于研究，假设与本征值En是保持对立的，本征函数Ψn组成正交归一系，则有：
Ψn=En+Ψn (3)
在公式中，设Ψ属于任意归一化波函数，将公式展开后获得：
(4)
在进行Ψ状态描述时，其体系能量平均值则为：
(5)
通过公式整理，则可以获得：
(6)
因E0代表的是基态能量，为此，则有E0 (7)
=E0属于Ψ归一条件，则有：
(8)
公式(8)不等式说明，在进行任意波函数Ψ求解时所获得的平均值总是较之基态能量较大，在进行Ψ平均值求解时，其中最小平均值与E0最接近。
当Ψ作为体系中Ψ0基态波函数时，此时基态能量E0则与平均值保持一致。
由此，实现变分法基态能量及基态波函数体系求解。
2 量子力学变分原理
如下，为某个微观体系薛定谔方程：
(9)
该薛定谔方程为变分问题欧拉微分方程，其变分问题求解则是对其能量积分进行求解，则有：
(10)
能量积分极小值为：
(11)
将体系哈密顿量设为H，则有：
(12)
在满足归一化条件的基础上，进行公式整理，则有：
(13)
实践证明，经过欧拉微积方程整理，可以获得薛定谔方程，证明微观体系薛定谔方程是可以让能量积分获得极值时的欧拉微分方程。
以上公式，则为量子力学中变分原理。
3 变分法在量子力学中的应用案例
在量子物理或经典物理中，一维谐振子与很多物理现象存在较大关系，甚至可以将任何体系在稳定平衡点位置所进行的运动看作一种近似一维谐振子，如核振动、晶体结构离子及中原子振动等。
本文在分析量子力学变分原理的基础上，进行一维谐振子研究。
将谐振子质量设为m，并沿x轴进行直线运动，则谐振子所受到势能为，可以通过以下公式进行哈密顿量表示：
(14)
体系试探波函数为，按照归一化条件，可以获得。
则有：
(15)
通过公式调整，可以获得以积分公式：
(16)
通过计算后获得：
(17)
并获得体系最低能量值为：
(18)
相应函数简化后为： (19)
通过检验后发现，这种计算结果与求解结果相同，证明所选取的变分函数良好。
图1为典型a下线性谐振子波函数及位置几率密度分布图。
波函数能够满足高斯型分布，在x=0位置，存在明显峰值，随着a逐渐降低，其峰值降低，且峰宽度逐渐增加。
从图1中可以看出，波函数几率密度分布状况与波函数、分布曲线形状基本保持一致。
应用变分法所求解出的波函数几率分布存在一定差异。
由此可以看出，应用变分法解决量子力学问题时，虽然其可以简单方便地进行体系基态性质求解，但其属于解决问题的近似方法，其近似程度随着参数变化发生变化。
只有保证所选择的波函数满足边界条件及归一化条件，参数越多时，其结果越好。
变分法其应用的优点在于其求解过程并不受到什么限制，但其结果好坏完全是由尝试波函数选择来确定。
为此，在应用结构变分法解决物理量子力学问题时，应保证变分法所选择的尝试波函数的合理性及科学性。
4 结语
当前，微扰法及变分法是处理物理量子力学问题常见的方法。
微扰法求解存在一定局限性，变分法求解并不受到任何限制，变分法属于处理函数的一种方式，与处理数的函数的普通微积分保持着相对立关系。
应用变分法，可以实现泛函临界点对应。
变分法在解决物理问题中发挥着十分重要的作用，尤其是在量子力学领域。
本文在概述变分法的基础上，对量子力学变分原理进行分析，并通过一维谐振子对变分法在量子力学中的应用进行分析。
通过实践证明，变分法在处理量子力学问题方面具有较大优势，保证尝试波函数选择合理性，是实现变分法效果的关键。
参考文献
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量子力学的新应用【2】
摘 要:首先分析了量子力学对计算机技术发展的影响,再详细说明了将量子力学应用在计算机技术中可使量子计算机具有优越的性质,最后介绍了未来量子计算机发展的趋势。
关键词:量子力学 量子计算机
1量子力学对计算机技术发展的影响
自1646年第一台电子计算机问世以来,其芯片发展速度日益加快。
按照芯片的摩尔定律 ,其集成度在不久的将来有望达到原子分子量级。
在享受计算机飞速发展带来的种种便利的同时,我们也不得不面临一个瓶颈问题,即根据量子力学理论,在芯片发展到微观集成的时候,量子效应会影响甚至完全破坏芯片功能。
因此,量子力学对计算机技术发展具有决定性作用。
1.1量子力学简介
量子力学是近代自然科学的最重要的成就之一. 在量子力学的世界里,一个量子微观体系的状态是由一个波函数来描述的,而非由粒子的位置和动量描述,这就是它与经典力学最根本的区别。
1.2量子力学与量子计算机
量子力学的海森堡测不准原理决定了粒子的位置和动量是不能同时确定的()。
当计算机芯片的密度很大时(即很小)将导致很大,电子不再被束缚,产生量子干涉效应,而这种干涉效应会完全破坏芯片的功能。
为了克服量子力学对计算机发展的限制,计算机的发展方向必然和量子力学相结合,这样不仅可以越过量子力学的障碍,而且可以开辟新的方向。
量子计算机就是以量子力学原理直接进行计算的计算机.保罗•贝尼奥夫在1981年第一次提出了制造量子计算机的理论。
量子计算机的存储和读写头都以量子态存在的,这意味着存储符号可以是0、1以及它们的叠加。
2量子计算机的优点
近年来的种种试验表明,量子计算机的计算和分析能力都超越了经典计算机。
它具有如此优越的性质正在于它的存储读取方式量子化。
对量子计算机的原理分析可知,以下两个个特性是令量子计算机优越性的根源所在。
2.1存储量大、速度高
经典计算机由0或1的二进制数据位存储数据,而量子计算机可以用自旋或者二能级态构造量子计算机中的数据位,即量子位。
不同于经典计算机的在0与1之间必取其一,量子位可以是0 或者1,也可以是0和l的迭加态。
因此,量子计算机的n个量子位可以同时存储2n个数据,远高于经典计算机的单个存储能力; 另一方面量子计算机可以同时进行多个读取和计算,远优于经典计算机的单次计算能力。
量子计算机的存储读取特性使其具有存储量大、读取计算速度高的优点。
2.2可以实现量子平行态
由量子力学原理可知,如果体系的波函数不能是构成该体系的粒子的波函数的乘积,则该体系的状态就处在一个纠缠态,即体系的粒子的状态是相互纠缠在一起的。
而量子纠缠态之间的关联效应不受任何局域性假设限制,这使两个处在纠缠态的粒子而言,不管它们离开有多么遥远,对其中一个粒子进行作用,必然会同时影响到另外一个粒子.正是由于量子纠缠态之间的神奇的关联效应, 使得量子计算机可以利用纠缠机制,实现量子平行算法,从而可以大大减少操作次数。
3量子计算机发展现状和未来趋势
3.1量子计算机实现的技术障碍
到目前为止,世界上还没有真正意义上的量子计算机,它的实现还有许多技术上的问题。
量子计算机的优越性主要体现在量子迭加态的关联效应. 然而,环境对迭加态的影响以及迭加态之间的相互作用会使这种关联效应减弱甚至丧失,即量子力学去相干效应.因此应尽量减少环境对量子态的作用。
同时,万一由于相干效应引入了错误信息,必需能及时改正,这需要进一步的研究和实验。
另一方面,量子态不能复制,使得不能把经典计算机中很完善的纠错方法直接移植到量子计算机中来.由于量子计算机在计算过程中不能对量子态测量, 因为这种测量会改变量子态, 而且这种改变是不可恢复的,因此在纠错方面存在很多问题。
3.2量子计算机的现状
由于上述两种原因,现在还无法确定未来的量子计算机究竟是什么样的, 目前科学家门提出了几种方案.
第一种方案是核磁共振计算机. 其原理是用自旋向上或向下表示量子位的0 和1 两种状态,重点在于实现自旋状态的控制非操作,优点在于尽可能保证了量子态和环境的较好隔离。
第二种方案是离子阱计算机. 其原理是将一系列自旋为1/2 的冷离子被禁锢在线性量子势阱里, 组成一个相对稳定的绝热系统,重点在于由激光来实现自旋翻转的控制非操作其优点在于极度减弱了去相干效应, 而且很容易在任意离子之间实现n 位量子门。
第三种方案是硅基半导体量子计算机. 其原理是在高纯度硅中掺杂自旋为1/2的离子实现存储信息的量子位,重点在于用绝缘物质实现量子态的隔绝,其优点在于可以利用现代高效的半导体技术。
此外还有线性光学方案, 腔量子动力学方案等.
3.3量子计算机的未来
随着现代科学技术的发展,量子计算机也会逐渐走向现实研制和现实运用。
量子计算机不但于未来的计算机产业的发展紧密相关,更重要的是它与国家的保密、电子银行、军事和通讯等重要领域密切相关。
实现量子计算机是21 世纪科学技术的最重要的目标之一。
参考文献:
[1]胡连荣. 速度惊人的量子计算机[J].知识就是力量
[2]付刚.“量子计算机”解密[N].中安在线-安徽日报
[3]谭华海.量子计算机研究的最新进展[J].教育部科技发展中心内刊.
[4]朱迅. 量子计算机[J].三思科学.
[5]张同民.量子计算机原理简介[J].黑龙江科技信息.
数值计算在量子力学教学中的应用及优势【3】
摘要：量子力学一直以来都是高等物理教学的重点和难点。
为了避免烦琐的数学推导，提高学生对量子力学的学习兴趣，应将数值计算作为一个虚拟实验平台引入到量子力学的教学中。
关键词：量子力学;数值计算;谐振子
一、引言
量子力学是研究微观粒子运动规律的物理学分支学科，与相对论一起构成了现代物理学的理论基础[1]。
对于高等院校物理专业的学生，量子力学在基础课程中占有核心地位。
通过学习量子力学，可进一步将学生对客观物质世界的感性认识提升到理性认识。
因此，对于高校量子力学教师而言，形象、生动的课堂教学不仅能激发学生的学习兴趣，而且还能完善和拓展学生的物理专业知识，从而提高学生的思维水平和培养他们的科研能力。
对于大部分初学者，除了难以理解量子力学中一些与常理相悖的知识外，烦琐的数学推导使很多同学对量子力学望而生畏。
如果高校教师继续沿用传统的解析推演、口述笔写的教学方式，将加大学生学习量子力学的难度。
此外，量子力学的授课内容大部分属于理论知识，受条件的限制，许多高校无法为学生开设实验课程，这使得学生对抽象的量子力学现象缺乏客观认识。
随着计算机的不断发展，很多教师将一些数值计算引入到了量子力学教学中，不仅有效地规避了烦琐的数学解析推演，而且也能作为量子力学授课的理想实验平台，为学生形象地展示量子力学中的一些抽象且难以理解的量子现象和概念[2，3]。
因此，为了降低学生学习量子力学的难度，提高学生对量子力学的学习兴趣，应鼓励高校教师将计算机及数值计算搬进量子力学的教学课堂。
本文将通过具体的一些量子力学实例来说明数值计算应用于量子力学教学过程中的优势。
二、数值计算在量子力学教学中的应用实例
我们将以一维势场中单个粒子的定态及含时演化为例来说明数值计算在量子力学教学中的应用。
为了简单，我们以Matlab软件作为数值计算的平台。
例1：一维定态薛定谔方程的数值计算
在量子力学中，描述单个粒子在一维势场V(x)中运动的定态薛定谔方程如下：
- +Vxψx=Eψx (1)
这里我们假设m=?攸=1。
原则上，通过从定态薛定谔方程中求解出波函数ψ(x)，我们可以知道该粒子在势场V(x)中运动的所有信息。
然而，方程(1)是否存在解析解，在很大程度上依赖于势场V(x)的具体形式。
对于较为简单的势场，例如大家熟知的无限深势阱及谐振子势阱，很容易解析求解方程(1)。
相反，如果势场V(x)的形式比较复杂，如周期势或双势阱，则必须借助于数值计算。
因此，当学生学会利用数值计算求解无限深势阱或谐振子势阱中的定态薛定谔方程时，则很容易举一反三的将其推广至较为复杂的势场，从而避免了烦琐的数学问题。
以下是基于Maltab软件并利用虚时演化方法所编写的计算定态薛定谔方程的程序：
clearall
N=100;x=linspace(-6，6，N+1);dx=x(2)-x(1);dt=0.001;dxdt=dt/dx^2;
V=0.5*x.^2;%谐振子势函数
temp=1+dxdt+dt*V;
psi=rand(1，N+1);%初始波函数
psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%归一化波函数
psi1=psi;
for k=1：10000000
%---------迭代法求解三对角方程---------
psi2=zeros(1，N+1);
for m=1：100000000
for j=2：N
psi2(j)=(psi(j)+0.5*dxdt*(psi1(j+1)+psi1(j-1)))/temp(j);
end
emax=max(abs(psi2-psi1));psi1=psi2;
ifemax<1e-8
break
end
end
psi1=psi1/sqrt(sum(abs(psi1).^2*dx));emax=max(abs(psi-psi1));psi=psi1;
ifemax<1e-6 %波函数收敛条件
break
end
end
作为例子，我们利用上述程序分别计算出谐振子和双势阱中的基态解。
程图1(a)中展示了谐振子的基态解，从中可以看出，数值计算的结果和精确解一致。
对于V (x)= x +ae 的双势阱(这里a为势垒高度，b为势垒宽度)，由于波函数满足相同的边界条件ψ(x→±∞)=0，则只需要将上述程序中的谐振子换成V (x)即可，其基态波函数展示在图1(b)中。
从图1(b)中可以看出，随着势垒高度的增加，粒子穿过势垒的几率越来越低。
由此可见，利用数值计算能形象地描述粒子在双势阱中的势垒贯穿效应，这降低了学生对该现象的理解难度，同时提高了教师的授课效率。
例2：一维含时薛定谔方程的数值计算
在量子力学中，描述单个粒子在一维势场V(x)中运动的含时薛定谔方程如下：
i =- +V(x)ψ(x，t) (2)
该方程为二阶偏微分方程，对于一般形式的外势V(x)很难严格求解该方程。
因此，我们借助时间劈裂傅立叶谱方法进行数值求解，其Matlab程序代码如下：
clearall
N=200;L=20;dx=L/N;x=(-N/2：N/2-1)*dx; K=2*pi/L;k=fftshift(-N/2：N/2-1)*K;
V=0.5*3*x.^2;
psi=exp(-(x-2).^2);psi=psi/sqrt(sum(abs(psi).^2)*dx);%归一化初始波函数
t=linspace(0，10，1001);dt=t(2)-t(1);F=exp(-i*0.5*dt*k.^2/2);
for j=1：length(t);
%---------时间劈裂谱方法求解---------
psi=ifft(F.*fft(psi));
psi=exp(-i*V*dt).*psi;
psi=ifft(F.*fft(psi));
U(j，：)=psi;
end
作为例子，我们分别选取了谐振子势阱的基态波函数和非基态波函数作为时间演化的初始值。
从图2中可以看到，当初始值为基态波函数时，波包的构型并不会随着时间的演化而发生形变，这说明粒子处于动力学稳定的状态。
相反，当我们将初始波函数的波包中心稍作挪动，则随着时间的演化，波包将在势阱中做周期性振荡。
我们可以让学生利用数值程序证明波包振荡周期等于谐振子的频率。
此外，如果我们将初始波函数改为谐振子的激发态，并在初始时刻加上一个较小的扰动项，则可利用时间演化程序证明激发态在外界的一定扰动下而变得动力学不稳定。
因此，数值程序为我们提供了验证理论结果的理想实验平台，有利于学生对抽象物理概念的理解。
三、结语
基于Matlab软件，我们以量子力学中的定态和含时薛定谔方程为例来说明数值计算应用于量子力学教学过程中的优势。
数值计算不仅有效避免了烦琐的数学公式推导，而且也可当作理想的实验平台来形象地展示量子力学中一些抽象的物理现象。
高校教师借助于数值计算能拓展学生的物理专业知识，提高他们对量子力学的学习兴趣，培养他们利用数值计算做一些简单的科学研究。
参考文献：
[1]曾谨言.量子力学卷I[M].第五版.北京：科学出版社，2014.
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[3]张小伟，赵华.Matlab在量子力学教学中的简单应用[J].科技信息，2013，(24).
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