数学思维训练汇编
《学而思培优·数学思维训练汇编:小学奥数5年级(视频讲解)》以各杯赛出题方向为依据,按照奥数学习的模块分计算、计数、应用题、行程问题、几何、数论、组合七个大专题,共三十六讲编写。
题目皆选自全国各大杯赛试题,题型全面,包含所有小学年级奥数知识点,且题目分类详尽;题目难易程度按星级由简至难排布,且有详尽的答案解析。
本书针对小学思维训练拓展。
为什么竞赛选手走向社会之后会有这么多的成功者?我想原因主要有以下三点:
一是数学解题对学生思维能力的训练是任何其他学科所不能比拟的。
虽然其他学科对于思维训练也有很大益处,但没有哪门学科对于学生的注意力、观察力、逻辑思维能力、记忆力、空间想象能力的训练像数学这样的全面和有针对性。
二是数学题目和数学问题本身的难度较大,对学生的毅力和独立思维的意志品质是一个很好的磨炼。
三是在学习数学的过程中尤其需要学生的自学能力。
数学竞赛的题目范围及难度往往略高于学校的教学大纲,对于解题思想的考查则不局限于学校的教学内容,学生为了取得新的突破,必须通过独自钻研,或者与同学及师长交流讨论。
如何提高数学思维【2】
(1)追根究底,培养思维的深刻性
思维的深刻性指善于透过纷繁复杂的表面现象发现问题本质。
在数学教学中,对于概念中的重点字、词,教师要进行强调,并讲清它们的含义;对于数学定理、公理中的条件和结论,要彻底讲清楚,要让学生深刻地理解所学的知识,对所学的知识追根究底,透过现象看本质,抓住问题的本质所在;对于数学中相关联的内容,要引导学生学会对比和类比,使他们通过比较,加深对所学知识的理解,同时也有助于对所学知识的记忆 。
(2)多角度、多层次考虑问题,培养学生思维的广阔性
思维的广阔性指善于全面地考察问题,从事物多种多样的联系和关系中去认识事物。
在数学教学中,要教育学生学会多角度、多层次、全面地思维,找到数学知识间的内在联系。
我们知道数学知识间的联系是无处不在的,如:一元二次方程、二次函数和一元二次不等式就联系密切;二次函数中,函数值为零就变成了一元二次方程;函数值大于或小于零时,就是一元二次不等式,找到知识间的联系后,就能很快地利用二次函数的图象,解一元二次不等式。
在数学教学中不仅要把握数学问题的整体,而且要抓住它的基本特征和特殊因素,找到问题的突破口,从而解决数学问题,这样有利于培养学生思维的广阔性。
(3)活学活用,培养思维的灵活性
思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展和变化及时地改变方法,寻找新的解决问题的途径。
在数学教学中,教师要让学生在掌握所学知识的同时,还要注意教授学生一些数学的基本思维和方法,如:化归的思维方法、转化的思维方法、比较的方法、形与数互相结合和转化的思维方法,以及在解题时经常用到的分析法和综合法等等,帮助学生在解题时,寻找问题的突破口,抓住问题实质,提高分析问题、解决问题的能力。
对于数学中的公式,要让学生知道公式的正用、逆用、变用、活用、巧用及综合运用,能灵活地运用公式,解答数学题。
教师要鼓励学生用非常规的方法去解题,大胆尝试,这都有利于培养学生思维的灵活性,要克服思维的呆板,避免循规蹈矩,提高应变能力。
(4)多练精练,培养思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维过程的简缩性和快速性。
数学教学中,做题是必不可少的一个重要环节,只有做一定量的题,才能掌握数学知识。
教师在教学中,可以通过适当的练习,让学生掌握所学的知识,熟悉所学的公式,学会解题的方法和技巧,能迅速从题中抓住本质,找到解题的关键。
练习题要精选,既要达到巩固所学知识的目的,又要避免同一类型的题大量地重复做,只有这样才能做到在解题时,正确地、敏捷地解出答案。
(5)鼓励发散思维,培养思维的创造性
思维的创造性是指独立思考创造出有社会(或个人) 价值的具有新颖性成分的成果的智力品质。
创造性思维是创造力的核心。
心理学家吉尔福特认为智力结构中的每一种能力都与创新有关,但发散思维与创新的关系最为密切。
发散思维是一种开放性的思维。
在数学教学中,要启发学生多思考、多提问。
勤思善问是创新思维的开始,教师应当允许学生有不同的看法和新见解,对于学生的探索精神以及独到的、新颖的解题方法或解题思路,教师要给予肯定和鼓励。
在平时的例题讲解中,采用题型发散、解法发散、纵横发散、变更命题发散、转化发散、迁移发散等多种形式,对学生进行多思、多变、多解的解题辅导,使他们思考问题时,注重多途径、多方案,解决问题时注重举一反三,触类旁通,这对于培养学生思维的创造性至关重要。
要让学生在思想上摆脱传统的习惯,多从反习惯、反传统、反常规思路上考虑问题,要提倡做题时,能标新立异、独辟蹊径、推陈出新,这些都有助于提高学生思维的创新能力。
(6)学会检验,培养思维的批判性
思维的批判性是指思考问题时,不受别人暗示的影响,能严格而客观地评价、检验思维的结果的思维品质。
在数学教学中,教师不仅要教给学生能解出结果,而且要让他们知道来龙去脉,并教给他们要用各种方式进行检验,要检验自己的结论是否正确、是否符合题意,去伪存真,能够及时找到问题所在,并自行改正,养成检验的好习惯。
另外教师在数学教学中,还要针对学生容易出错的地方,讲一些错例辨析题,通过这类型题的比较,让学生发现问题所在,提高他们的辨误水平,避免再犯同样的错误。
告诉学生,凡事要自己去思考,不要盲从、不要迷信,有批判地接受,要敢于和善于发现问题,这对提高他们思维的批判性是有益处的。
对学生数学思维品质的培养,是数学教学的一项重要任务,它不是一朝一夕的事,数学教师要在传授知识的同时,注意对学生思维品质的培养,提高学生的思维能力,教师要大胆改革教学,提高学生的数学素质。
(7)突出情感教育,激发思维的积极性
①激发学习兴趣。
我国数学家王梓坤院士教导我们:“数学教师的职责之一就在于培养学生对数学的兴趣,这等于给了他们长久钻研数学的动力,优秀的数学教师之所以在学生中永志不忘,就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰。
”因此,教师可以利用创设问题情境,利用教学认知矛盾,揭示新旧知识的联系,以数学知识本身的魅力与内在美,用直观的演示实验、精彩的导言来激发学生的学习兴趣。
②根据学生的个体差异,进行差异教学。
研究表明,学生的数学思维能力表现出明显的个体差异。
因此,教师对优等生要发挥其特长,指出其问题,更上一层楼;对中等生要激发其上进心,创造条件,促使其进步;对差生要热情关心,找出其症结,并采取个别指导的形式,帮助其克服困难,树立信心。
总之,教学要面向全体学生,调动每个学生的积极性,让每个学生都在原有的基础上得到充分发展。
(8)注重数学语言教学,提高思维精度
语言是思维的载体,思维需要用语言或文字表述。
著名科学家爱因斯坦认为:“一个人的发展和他形成概念的方法很大程度上是取决于语言。
”数学语言是进行数学思维和数学交流的工具。
数学语言水平的高低,在一定程度上影响着数学思维的发展。
所以,在数学教学中要充分认识数学语言对思维活动的影响,注重数学语言教学,培养学生用数学语言进行思维的习惯,发展学生的思维能力。
在教学中应注意:
①从规范书写与正确表达做起。
如果老师对数学概念、术语理解不深刻,语言表达不准确、不规范,甚至出现科学性错误,或者书写格式不合逻辑,出错题或做错解,对学生的影响是难以估量的。
因此,老师在课堂教学要做到语言规范,言必有序,言必有理,言必有据。
所有言语要合乎一般语法法则和逻辑要求,概念教学要准确到位,清晰明了,推理分析要条理清楚、层次分明。
②鼓励数学交流。
在课堂教学中,尽可能多地让学生说,如同位相商、小组讨论、集体讨论、自由议论、自己对自己说、质疑问难、全班评议等。
通过交流,可以使学生的思想清晰活跃,思路明确开阔,因果分明,逻辑清楚。
(9)创设情境问题,提供思维空间
①铺垫型情境。
教师可以以符合学生认知水平的、富有启发性的、常规问题或已知的数学事实为素材,创设铺垫型情境。
通过由浅入深、由此及彼、由正及反等不同的方式,不同层次的联想,变化发展出不同的新问题,从而为各种层次的学生提供广阔的思维空间,这对培养学生思维的开放性和合理推理能力有重要作用。
②认知冲突型情境。
教师可以以富有挑战性、探究性,且处于学生认知结构的最近发展区的非常规问题为素材,创设认知冲突性情境,引起学生的认知冲突,激起学生强烈的探究欲望和学习动机。
要让学生从解决面临的情境问题出发,不断地分解、转化问题,提出新的有关问题,并通过新问题的解决,最终使情境问题获得解决。
③思维策略型情境。
教师可以以思维策略多样、解题方法典型、解题过程能体现某种完整的数学思想方法的问题作为素材,创设思维策略性情境。
当学生的思维受阻后,教师可以从不同角度、不同的层次引导学生进行辩证分析,使学生获得不同程度的启发,从而使他们产生不同的解法。
同时,教师还可以引导学生对解法或策略进行适用性研究,拓展其使用范围。
这对克服思维定势等原因产生的消极影响,拓展思维的深度和广度,优化思维品质,培养思维的灵活性和创造性具有重要作用。
④试误型情境。
学生在理解、应用数学知识和方法的过程中,常因各种原因,犯一些似是而非的错误,教师如果能从中选择素材,就可创设试误型情境,借此为学生尝试错误提供时间与空间,并通过反思错误的原因,提出批驳型问题,加深学生对知识、方法的理解和掌握,提高他们对错误的认识与警戒,培养他们思维的批判性和严谨性。
这不仅能激发学生饱满的学习热情,促使他们以积极的态度、旺盛的精力主动探索,而且能使他们在情境中沉思、在情境中受感染、在情境中领悟。
(10)引导学生反思,挖掘思维潜力
数学研究本身就是一个不断反思的过程,反思推进了数学的进步。
在数学学习中,反思是一种积极的探究行为,是促进知识同化迁移的可靠途径;反思可以沟通新旧知识间的联系,深化对知识的理解;反思能促使学生从不同方面多角度观察事物,质疑问题,有利于创新思维和创造能力的培养。
良好的反思能力的形成必将使学生的思维能力得到大大地提升。
因此,在教学中,应紧密结合学生的认知活动,适时引导学生进行反思。
①听课反思。
在听课过程中,要指导学生学会反思这节课的主要内容与特点、学习的目标、教师思考问题的方法、自己对知识的理解程度,并可要求学生注意捕捉引起反思的问题或提出具有反思性的见解。
②解题反思。
这是在解题过程中,反思求解数学问题的思维模式,它通过对问题解答的结论的正确性进行检验或提出疑问、能否将问题进行变式或把当前问题推广到一般情况等问题的追问,使学生对自己思维方式进行有针对性的反思、调控,从而选择最佳解题策略。
③学习习惯反思。
指导学生经常反思自己对数学的兴趣、学习信心和能力、学习的态度与情绪、存在的薄弱环节等,学会及时调整自己,改正不良习惯,积极向上,通过引导学生反思使学生的思维能力得到有效的培养和开发。
(11)完善认识结构,优化思维品质
知识是思维的基础,没有一定的知识积累,思维过程就无法进行。
学生只有掌握了科学的符合逻辑结构的规律性的知识,才能通过运用这些知识作为分析、综合、判断、推理的基础,实现知识的迁移。
因此,要特别重视数学基本概念、基本原理的教学,不仅要讲清每一章节的知识结构,同时,还要注意各学科间知识的横向联系。
学生的知识结构越完整,思维的依据就越充分,思维过程就越容易进行。
①注重数学知识的整体性。
数学是一门结构化的学科,数学各个分支、各章节内容之间是互相渗透、相互蕴含的,数学知识是充满关系的有机整体。
在平时的教学中,既要注意知识面之间的纵向联系,把孤立的知识组成知识链,又要注意知识之间的横向联系,把知识链进一步组成知识网,使学生在头脑里形成一个经纬交织、融会贯通的知识网络,以利于塑造学生良好的认知结构,培养学习的迁移能力,进而从不同角度激活思维的灵活性、独创性。
②揭示知识形成的过程。
知识形成过程是构建知识结构的物质基础。
首先,要强调揭示知识发生的过程,因为概念的概括与判断及推理过程包含着极丰富的推理方法、思想方法和思维方法,它们是知识结构中的活跃元素。
要注意充分地揭示概念提出的背景,引导学生去探索概念的抽象、概括的过程,揭示概念形成的条件和发生过程。
其次,要强调知识的发展、深化过程,这是知识形成过程最关键的一环,是数学教学过程的主干。
要在学生头脑中织成知识的经纬和网络,垒砌知识的框架与结构。
再次,要着眼于知识应用的过程。
因为只有在知识的应用过程中,学生才能更深入地了解知识之间的内在联系,才能悟出带有观念性的数学思考,才能有效地从整体上认识数学。
实践表明,这样做不仅能够利于学生对概念的记忆、理解和掌握,而且能够锻炼学生善于透过纷繁复杂的表面现象去发现问题的实质,揭示事物的内在联系的能力,从而培养学生思维的深刻性。
③提炼数学思想方法。
数学思想方法形成于数学知识结构的建立和数学问题的解决过程中,它具有极高的概括性和包容性。
学生一旦掌握它,就能触类旁通,并形成创新能力。
因此,数学教学要注重数学思想方法的提炼。
(12)构建数学模式,发展思维能力
数学是研究“量化模式”的科学。
数学是充满模式的,法则是模式,一个确定的数学关系是一个模式,算法、规范式也是一个模式。
在教学中引导学生构建解题模式,不但可以向学生展示一些典型问题的解决过程,而且向学生提供了大量的“已知的、熟悉的、能解的问题”,为化归思想提供了若干重要的升降基地,成为解决新问题时的新的凭借与依托。
因此,建构模式、认识模式、欣赏模式、理解和记忆模式、强化和应用模式,无论对于巩固与应用学生已学的数学知识,还是对培养学生的数学技能都有着不可替代的作用。
加强数学模式的教学是信息化社会对数学教育提出的新的要求,它能帮助学生从众多信息中筛选有用的关键信息,提高分析问题的能力。
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