初一圆的知识点总结

时间：2023-04-10 08:56:23 春宁总结我要投稿

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初一圆的知识点总结

　　在平凡的学习生活中，看到知识点，都是先收藏再说吧！知识点有时候特指教科书上或考试的知识。还在为没有系统的知识点而发愁吗？以下是小编帮大家整理的初一圆的知识点总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

初一圆的知识点总结

　　圆的初步认识

　　一、圆及圆的相关量的定义)

　　1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

　　2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

　　3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

　　4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

　　5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

　　6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

　　7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

　　二、有关圆的字母表示方法(7个)

　　圆--⊙半径—r弧--⌒直径—d

　　扇形弧长/圆锥母线—l周长—C面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个)

　　1.点P与圆O的位置关系(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)：

　　P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O内，PO

　　2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

　　3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

　　4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

　　5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

　　6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

　　7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。

　　8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。

　　9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离)：

　　AB与⊙O相离，PO>r;AB与⊙O相切，PO=r;AB与⊙O相交，PO

　　10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

　　11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P)：

　　外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r

　　三、有关圆的计算公式

　　1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=s=πr23.扇形弧长l=nπr/180

　　4.扇形面积S=nπr2/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl

　　四、圆的方程

　　1.圆的标准方程

　　在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是

　　(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

　　2.圆的一般方程

　　把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是

　　x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

　　和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2

　　相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.

　　五、圆与直线的位置关系判断

　　链接:圆与直线的位置关系(一.5)

　　平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是

　　讨论如下2种情况:

　　(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],

　　代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.

　　利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:

　　如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交

　　如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切

　　如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离

　　(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴)

　　将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a))^2+(y-b)^2=r^2

　　令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1

　　当x=-C/Ax2时,直线与圆相离

　　当x1

　　当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切

　　圆的定理：

　　1不在同一直线上的三点确定一个圆。

　　2垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

　　推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

　　②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

　　推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

　　3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

　　4圆是定点的距离等于定长的点的集合

　　5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

　　6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

　　7同圆或等圆的半径相等

　　初三数学圆的总结

　　圆的全章复习

　　1.圆的基础知识(1)圆的有关概念：

　　弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧（隐含同圆等圆），弦心距，直径等。(2)圆的确定

　　圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。

　　注意：作图（两边中垂线找交点），外心的位置，外心到三角形各顶点距离等

　　③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性

　　2.圆与其它图形（1）点与圆三种（2）直线与圆

　　相离dr①一条直线与圆三种相切dr

　　相交dr有关的角：圆周角，弦切角，圆外角等②两条直线与圆

　　比例线段：圆幂定理等③三条直线与圆即三角形与圆

　　三角形“四心”的区别：

　　垂心意义三条高的交点性质等式积：ahabhbchc位置锐角三角形：内部直角三角形：直角顶点钝角三角形：外部必在三角形内部重心三条中线的交点同一中线上重心到顶点的距离是它到该顶点的对边距离的2倍外心1.外接圆的圆心2.三边中垂线的交点到三角形三顶点距离相等锐角三角形：内部直角三角形：斜边中点钝角三角形：外部到三角形三边距离相等与顶点连线平分该内角必在三角形内部内心

　　1.内切圆的圆心2.三条角平分线的交点

　　内切四边形：对角之和④四条直线与圆外切四边形：两组对边为180的和相等

　　（3）两圆与直线

　　两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。

　　两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。

　　3.圆与圆的位置关系：

　　(1).掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r2及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。(2).在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。

　　(3).在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线；圆心距，连心线。(4).当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。当两圆内切时，连心线垂直于公切线。

　　当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。

　　(5).公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。(6).如图内公切线长d(Rr)（外离时）

　　(Rr)（外离、外切、相交时）外公切线长d2222d圆心距R大圆半径r小圆半径R≥r

　　内公切线Rrd

　　外公切线Rrd

　　夹角一半sin的正弦值夹角一半sin的正弦值

　　(7).公切线条数①内含②内切③相交

　　0条

　　1条dRrRrdRr2条0dRr④外切⑤外离

　　dRrdRr

　　3条4条

　　4.定理

　　（1）垂径定理及推论：过圆心；垂直弦；平分弦（非直径）；平分优弧；平分劣弧；知2求3。

　　（2）圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。

　　（3）与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角

　　1.一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一它所对弧度数的一半半，圆周角的度数等于角相等；同圆或等圆中2.同弧或等弧所对的圆周也相等相等的圆周角所对的弧。3.直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直角圆周角的性质

　　（4）切线的判定、性质：

　　①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，“连垂切”

　　或作垂直证d＝r

　　②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。常见“切连垂”

　　（5）和圆有关的比例线段：

　　相交弦定理及推论，切割线定理及推论

　　5.和圆有关的计算（1）求线段①直径、半径

　　②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高

　　③切线长、公切线长（外公切线长，内公切线长）④直角三角形内切圆半径

　　⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等（2）求角

　　圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角6.常见辅助线

　　半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线7.圆中常见图形

　　直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形

　　8.正多边形和圆

　　正n边形的内角和为(n2)180有n个相等的内角，每个内角的度数为

　　(n2)180n

　　注意：正多边形的外交和始终为3609.弧长公式：lnR

　　180101圆是定点的距离等于定长的点的xx

　　102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的xx103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的xx104同圆或等圆的半径相等

　　105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

　　106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

　　107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

　　110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

　　111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

　　114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

　　115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

　　117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

　　119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

　　121①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r

　　122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

　　126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等

　　128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

　　129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

　　131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

　　132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

　　133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

　　④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):

　　⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

　　⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

　　140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4a表示边长

　　143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n兀R／180

　　145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)

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