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六年级数学《分数认识》教案设计

时间:2022-10-09 14:16:50 教案 我要投稿
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六年级数学《分数认识》教案设计

  一、分数与除法

六年级数学《分数认识》教案设计

  在自然数集合里,加法和乘法运算总是可以实施,但减法和除法却不行;引入分数,自然数集合扩充为非负有理数集合后,除法运算才变得畅通无阻。

  例如,3÷4=?在自然数集合里找不到一个与3÷4对应的自然数,而在非负有理数集合里却找到了一个且只有一个分数,与3÷4对应,即3÷4=。

  如何理解3÷4=的数学意义呢?

  ⑴表示3是4的。其中3与4表示不同的两个量,而是量数,是以4为基准量去度量3所得的结果。

  一般地,a、b都是非零的自然数时,a÷b=。

  ⑵表示3平均分成4份,每份是;或者的4倍是3。这里,3和都表示量,而4是量数。

  事实上,任意两个正有理数相除,都具有上述两种数学意义。

  例如“3÷=?”也有下面两种数学意义:

  ⑴3是的几分之几?

  从上图,可以看出:3÷=。

  ⑵3平均分成份,每份是多少?

  因为是5个的,所以先把3平均分成5小份,每一小份即是所求一份的,如下图所示。

  从上图,也可以看出:3÷=。

  注意:a、b都不是0,但只要有一个是分数,那么a÷b≠。

  所以,如果忽视必要的前提,笼统地说被除数即分子、除数即分母,是不正确的。当且仅当a、b都是不为零的自然数时,等式a÷b=才成立。这个命题还告诉我们,分数可以转化为除法,这为分数化为小数打通了一条重要途径。

  二、百分数

  百分数是否就是分母是100的分数?如果是,又何必需要这个新概念呢?

  事实上,百分数是在分数应用的实践中产生和发展起来的。我们先来解决下面的实际问题:

  在一场足球比赛中,猛虎队获得一次罚点球的机会,他们准备派下列三名队员中的一名去罚点球。下面是这三名队员在过去比赛中罚点球的成绩统计表。

  队员

  踢点球的次数

  罚中的次数

  3号队员

  18

  20

  5号队员

  21

  25

  7号队员

  13

  12

  从这个实际问题抽象成的数学问题是:比较分数、、的大校

  解法1:(化为同分母的分数进行比较)

  =,

  =,

  =。

  因为>>,

  所以>>。

  由此可知,7号队员以往罚点球的成绩最佳,派他去罚点球是明智的选择。

  不过,上面三个分数分母的最小倍数(1300)是比较大的,因此通分不仅比较费劲,也容易出差错。

  解法2:(化为小数进行比较)

  =18÷20=0.90,

  =21÷25=0.84,

  =12÷13>0.923。

  因为0.923>0.90>0.84,所以>>。

  化为小数,虽然可以借以比较分数的大小,但小数却失去了原来分数的特性,即表示量的倍比关系的意义。因此,需要寻找既能保持分数的特性,计算又比较简便的解题方法。就在这种需要的驱动下,百分数应运而生了。

  新的办法就是把分母统统变成100。

  把与化为分母是100的分数不难:=,=。

  问题在于怎样把也变成分母是100的分数呢?

  设所化成的分数的分子为x,即

  =,

  两边同乘100,得

  x=×100,

  x≈92.3。

  所以,≈。这个结果与前面学过的分数不同的地方是,它的分子是一个小数。

  的意义是:如果把13平均分成100份,那么12大约占其中的92.3份。也就是说,这种分数只能表示两个量的倍比关系,而不具有表示量的功能。

  于是,人们把形如,,,......等,只能表示量的倍比关系,不能表示量的分数,统称为百分数;并引入新的符号“%”(叫做百分号),把百分数记为84%,90%,92.3%,......,以便从形式上与前面学过的分数加以区别。

  显然,84%<90%<92.3%,通过百分数的大小比较,也说明是7号队员点球的罚中率最高。

  诚然,把分数化为百分数还有更简捷的途径,即通过小数转化。

  如,≈0.923=92.3%。但是这种方法,对于理解百分数的意义,不如方程的方法直观。

  三、比

  比,顾名思义,与人类比较事物的实践活动密切相关。比的概念是在比较不同的量的倍比关系的实践中产生和发展的。

  下面先探讨一个现实问题--平面图画得像不像。

  例1羽毛球场是长18m、宽9m的长方形,如下图A。

  ⑴在B、C、D、E、F等图形中,你认为哪几个长方形的形状像图A,哪几个不像?

  ⑵对形状与图A(羽毛球场)相同的长方形,请你比较它们的长和宽,能发现其中的规律吗?

  ⑶在图A内,请你画一个形状与图A相同的长方形,且这个长方形的长是图A的长的。

  任何正方形的形状都一样,但长方形的形状却有差异。图A恰好可以分成两个大小相同的正方形。发现图A的这个特性,能帮助我们找出其他形状与图A相同的长方形,如图D和E。而图B、C和F都不具有图A的这种特性,所以它们的形状与图A不同。

  图A可以分成两个大小相同的正方形,等价于它的长是宽的2倍。形状与图A相同的长方形,长都是宽的2倍;形状与图A不同的长方形,长都不是宽的2倍。这就是我们发现的规律。

  一般地,a、b分别表示一个长方形的长和宽,分数表示这个长方形的长与宽的倍比关系。这个分数的重要性在于它提供了长方形的一个分类标准:凡是长是宽的倍的长方形,都是形状相同的长方形,它们归为一类。图形的分类对于认识图形的性质具有重要的意义。

  不过用“长是宽的倍”来刻画长方形的形状特征,有时很麻烦。例如,当a或b是分数时,是一个繁分数。为了避免进行繁分数的繁难运算,就需要改进对“长是宽的倍”这一特征的描述,从而引入比的概念。

  “长是宽的倍”,可以用“长与宽的比是a︰b”取而代之。

  当a、b表示两个不同的量时,a︰b==a÷b。

  所以,比可以定义为:两个量相除,叫做这两个量的比。

  虽然比、分数、除法在揭示量的倍比关系方面是相通的,但对于不同的问题情境,仍然需要选择恰当的简便的表征方式,并掌握它们的相互转换。

  例2蜂蜜绿茶是用2份蜂蜜和7份绿茶配制成的消暑饮料,要配制450毫升这种饮料,需要蜂蜜和绿茶各多少毫升?

  在这个问题中,蜂蜜和绿茶体积的倍比关系用比的形式表示比较简便,即蜂蜜︰绿茶=2︰7。

  解法1:(应用方程)

  设:一份蜂蜜或绿茶的体积为x毫升,则配制蜂蜜绿需用蜂蜜2x毫升,绿茶7x毫升。

  2x+7x=450,

  9x=450

  x=50。

  2x=2×50=100,

  7x=7×50=350。

  答:配制蜂蜜绿茶需要100毫升蜂蜜和350毫升绿茶。

  解法2:(综合应用比和分数)蜂蜜︰绿茶=2︰7=︰,且

  +=1。因此,蜂蜜绿茶两个组成部分的倍比关系就转换成各部分与整体(蜂蜜绿茶)的倍比关系。从而,为应用分数解决问题创造了条件,图示如下:

  450×=100,

  450×=350。

  解法1是代数方法,解法2是算术方法,殊途同归。

  例37个女生平分4个蛋糕,3个男生平分2个蛋糕。是每个女生分得多一些,还是每个男生分得多一些?

  解法1:每个女生分得个蛋糕,每个男生分得个蛋糕。问题可以归结为比较分数与的大小。比较两个量的倍比关系又有如下两种方法。

  方法1:(利用除法)

  ÷=×=。

  因为<1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。

  方法2:(利用比)

  ︰=12︰14。

  因为12︰14<1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。

  解法2:(利用比)分别考虑男、女生的蛋糕数量或人数的倍比关系。

  女生蛋糕︰男生蛋糕=4︰2=2︰1,

  女生人数︰男生蛋糕=7︰3。

  因为7︰3>6︰3=2︰1,所以男生分得蛋糕比女生多一些。

  解法3:(利用图解)

  上图说明,如果只有6个女生平分4个蛋糕,那么女生和男生将分得同样多。但女生有7个,7个女生平分4个蛋糕,每个女生分得的蛋糕要比6个女生平分的情形少一些。所以,男生分得的蛋糕比女生多。

  上述解法2与解法3有异曲同工之妙,妙在都自然地渗透了数学的基本思想方法--对应。

  比的概念不仅进一步揭示了分数的本质--量的倍比关系,而且也丰富了表征思维过程的方法和手段,使我们面临解决与分数相关的实际问题的时候,有更多的思路和方法可以选择,可以灵活转换,左右逢源。

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