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《直线的方程》数学课教案
高二数学上册《直线的方程》第二课时教案
●教学目标
(一)教学知识点
1.直线方程的两点式.
2.直线方程的截距式.
(二)能力训练要求
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围.
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.
2.用联系的观点看问题.
●教学重点
直线方程的两点式.
●教学难点
两点式推导过程的理解.
●教学方法
学导式
本节的学习过程与上一节一样，始终遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律，让学生在应用旧知识的过程中探究，通过老师的引导启发得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点，从而达到理解进而掌握的目的.
整节课堂的教学活动要注意最大限度地发挥学生的主体参与，并要求学生尝试运用直线方程的多种形式解题，以形成学生灵活的解题方法.
●教具准备
投影片三张
第一张：两点式的推导(记作7.2.2 A)
第二张：截距式的推导(记作7.2.2 B)
第三张：本节例题(记作7.2.2 C)
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课，我们一起学习了直线方程的点斜式，并要求大家熟练掌握.下面，我们利用点斜式来解答如下题目：
已知直线l经过两点P1（1，2），P2（3，5），求直线l的方程.
［师］下面，我们让一位同学来说一下此题的解答思路.
［生］由于直线两点坐标已知，所以可根据斜率公式求出过两点的直线斜率，然后再将求出的直线斜率与点P1坐标代入点斜式，即可获得所求直线方程.
［师］很好，那么我们一起来作出解答.
解：＝5?23? 3?12
由点斜式得：
－2＝3(x-1) 2
［师］由上述过程，我们可以看出，已知直线上两点坐标，便可得到直线方程，也即我们通常所说的“两点确定一条直线”，那么，能否将P1，P2的坐标推广到一般呢?这也就是我
们这节课将要研究的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.直线方程的两点式
?1x?x1（x1≠x2，1≠2） ?2?1x2?x1
其中，x1，1，x2，2是直线上两点P1（x1，1）、P2（x2，2）的坐标.
(给出投影片7.2.2 A)
推导：因为直线l经过点P（1）、P（2）并且x1≠x2，所以它的斜率＝1x1，2x2，
（x1≠x2）代入点斜式得： 2?1x2?x1
－1＝2?1（x－x1) x2?x1
当2≠1时，方程可以写成
?1x?x1（x1≠x2，1≠2） ?2?1x2?x1
说明：(1)这个方程由直线上两点确定；(2)当直线没有斜率(x1＝x2）或斜率为0(1＝2）时，不能用两点式求出它的方程.
［师］下面我们来看两点式的应用.
2.例题讲解
［例4］已知直线l与x轴的交点为(a，0），与轴的交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，求直线l的方程.
分析：此题条件符合两点式的适用范围，可以直接代入.
解：由两点式得
?0x?a? b?00?a
x即?＝1 ab
说明：(1)这一直线方程由直线在x轴和轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；(2)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
［师］下面我们通过例题进一步熟悉各种直线方程形式的应用.
［例5］三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），这个三角形三边所在的直线方程.
解法一：(用两点式)
直线AB经过点A(－5，0)，B(3，－3)，由两点式得
?0x?(?5)?， ?3?03?(?5)
整理得3x＋８＋15＝0，这就是直线AB的方程.
直线B、C经过点B(3，－3)，C（0，2），由两点式得
?(?3)x?3 ?2?(?3)0?3
整理得5x＋3－6＝0
这就是直线BC的方程.
直线AC过A(－5，0)，C(0，2)，由两点式得
?0x?(?5) ?2?00?(?5)
整理得2x－5＋10＝0.
这就是直线AC的方程.
解法二：(用斜截式求BC所在直线方程)
∵BC＝2?(?3)5?? 0?33
∴由斜截式得
＝－＋2
整理得5x＋3－6＝0
这就是直线BC的方程.
解法三：(用截距式求直线AC的方程)
∵直线AC的横、纵截距分别为－5，2.
∴由截距式得 53
x?＝1 ?52
整理得2x－5＋10＝0
这就是直线AC的方程.
评述：此题可采用多种方法求解，体现了直线方程多种形式应用的灵活性，应要求学生予以重视.
Ⅲ.课堂练习
课本P４1练习 1，2.
1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程.
(1)P1（2，1），P2（0，－3）；
(2)A（0，5），B（5，0）；
(3)C（－４，－5），D（0，0）.
解：(1)直线P1P2的两点式方程为：
?1x?2? ?3?10?2
整理得斜截式方程为：
＝2x－3.
(2)直线AB的两点式方程为：
?5x?0? 0?55?0
整理得斜截式方程为：
＝－x+5
(3)直线CD的两点式方程为：
?0x?0? ?5?0?4?0
整理得斜截式方程为：
＝5x. 4
2.根据下列条件求直线方程，并画出图形：
(1)在x轴上的截距为2，在轴上的截距是3；
(2)在x轴上的截距是－5，在轴上的截距是6?
解：(1)由截距式得：
x?＝1 23
整理得：3x＋2－6＝0
(2)由截距式得
x?＝1 ?56
整理得：6x－5＋30＝0
图形依次为：
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握直线方程的两点式，了解直线方程的截距式，并能运用直线方程的多种形式灵活求解直线方程.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P44习题7.2
6.求证A(1，3），B（5，7），C（10，12）三点在同一直线上.
7?34?＝1 5?14
12?39?＝1 AC＝10?19证明：∵AB＝
∴AB＝AC
又∵AB与AC有相同起点A
∴A、B、C三点共线.
说明：此题也可通过两点式求出直线AB的方程，再检验点C也符合直线AB方程，从而证明A、B、C三点共线.
7.(1)已知三角形的顶点是A(８，5）、B（４，－2）、C(－6，3)，求经过每两边中点的三条直线的方程.
(2)△ABC的顶点是A（0，5），B（1，－2），C（－6，4），求BC边上的中线所在的直线的方程
5x?(?)?12 ?55?10?(?)2
整理得８x－5＋25＝0
这就是BC边上的中线所在直线方程.
（二）1.预习内容：P４2～４3
2.预习提纲：
（1）直线方程的一般式有何特点?
（2）直线方程的一般式能否与其他形式互相转化?
●板书设计
高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）
［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（，2）（∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.
选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.
解：(1)当=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=? 2
(2)当≠2时，直线l的斜率=
∴α=arctan1∵＞2时，＞0. ?21?,α∈（0，）， ?22
1?，α∈(,π). ?22
1，）共线，求的值. 2∵当＜2时，＜0 ∴α＝π＋arctan说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（
选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法.
解：∵A、B、C三点共线，
∴ｋAB＝ｋAC，?2?3?3?. 13?2?22
解得=1. 2
说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.
［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.
选题意图：强化斜率公式.
解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α. ∵tan2α=ｋAB=?2?(?5)3?. 3?(?1)4
?2tan?3? 1?tan2?4
1或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0， 解得tanα＝
∵tan2α＝3＞0,∴0°＜2α＜90°, 4
0°＜α＜45°，
∴tanα＝1. 3
1 3因此，直线l的斜率是
说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.
命题否定的典型错误及制作
在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容．从课本内容安排上看，显得较容易，但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解，在解决这部分内容涉及的问题时容易出错．下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述．
一、典型错误剖析
错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论 在命题的否定中，有许多是把原命题中的结论加以否定．如命题：2是无理数，其否定是：2不是无理数．但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了．
例1 写出下列命题的否定：
⑴ 对于任意实数x，使x＝1；
⑵ 存在一个实数x，使x＝1．
错解：它们的否定分别为
⑴ 对于任意实数x，使x≠1；
⑵ 存在一个实数x，使x≠1．
剖析：对于⑴是全称命题，要否定它只要存在一个实数x，使x≠1即可；对于⑵是存在命题，要否定它必须是对所有实数x，使x≠1．
正解：⑴存在一个实数x，使x≠1；
⑵对于任意实数x，使x≠1．
错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词
在命题的否定中，有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词，如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等．但对于联言命题及选言命题，还要把逻辑联结词“且”与“或”互换． 22222222
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例2 写出下列命题的否定：
⑴ 线段AB与CD平行且相等；
⑵ 线段AB与CD平行或相等．
错解：⑴ 线段AB与CD不平行且不相等；
⑵ 线段AB与CD不平行或不相等．
剖析：对于⑴是联言命题，其结论的含义为：“平行且相等”，所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外，还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”；而⑵是选言命题，其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况，故否定就为“不平行且不相等”．
正解：⑴ 线段AB与CD不平行或不相等；
⑵ 线段AB与CD不平行且不相等．
错误3——认为“都不是”是“都是”的否定
例3 写出下列命题的否定：
⑴ a，b都是零；
⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员．
错解：⑴ a，b都不是零；
⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员．
剖析：要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系，其中“都是”的否定是“不都是”，“不都是”包含“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”．
正解：⑴a，b不都是零，即“a，b中至少有一个不是零”．
⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员，或写成：高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员．
错误4——认为“命题否定”就是“否命题”
根据逻辑学知识，任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题)；而否命题是就假言命题(若p则q)而言的．如果一个命题不是假言命题，就无所谓否命题，也就是说，我们就不研究它的否命题．我们应清醒地认识到：假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”，而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”，而不是“若p则非q”．
例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定．
错解：不满足条件C的点不都在直线F上．
⑴ 3＋4＞6；
⑵ 2是偶数．
解：所给命题的否定分别是：
⑴ 3＋4≤6；
⑵ 2不是偶数．
2．含有全称量词和存在量词的简单命题
全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等，形如“所有A是B”，其否定为“存在某个A不是B”；存在量词相当于 “存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“至多有一个”等，形如“某一个A是B”，其否定是“对于所有的A都不是B”．
全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题．
例6 写出下列命题的否定：
⑴ 不论取什么实数，x＋x－＝0必有实根．
⑵ 存在一个实数x，使得x＋x＋1≤0．
⑶ 至少有一个整数是自然数．
⑷ 至多有两个质数是奇数．
解：⑴ 原命题相当于“对所有的实数，x＋x－＝0必有实根”，其否定是“存在实数，使x＋x－＝0没有实根”．
⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x，x＋x＋1＞0”．
⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”．
⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”．
22222
3．复合命题“p且q”，“p或q”的否定
“p且q”是联言命题，其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“；“p或q”是选言命题，其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“；
例7 写出下列命题的否定：
⑴ 他是数学家或物理学家．⑵ 他是数学家又是物理学家． ⑶1≥0． 2x?2x?3
解：⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”．
⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”，即“他不是数学家或他不是物理学家”．
⑶若认为┐p：11＜0，那就错了．┐p是对p的否定，包括＜0或22x?2x?3x?2x?31＝0． x2?2x?3
或∵p：x＞1或x＜－3，∴┐p：－3≤x≤1．
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